\pagebreak
\section{Моментные функции случайной структуры\\двухфазных однонаправленно армированных\\композитов}
\subsection{Использование многопроцессорных систем для построения\\моментных функций второго порядка}

Случайная структура однонаправленно армированных волокнистых композитов, которая исследуется экспериментально путем обработки микрошлифов, а также на основе анализа модельных плоских или пространственных структур, полученных при помощи компьютерного синтеза, может быть описана совокупностью условных и безусловных моментных функций \cite{vs}. Пусть $\lambda(\bf{r})$ --- случайная индикаторная функция, которая принимает значение, равное единице, в случае, если точка $\bf{r}$ принадлежит дискретной фазе --- волокну (объемная доля которых равна $\nu_f$), и нулю --- если эта точка принадлежит непрерывной фазе --- матрице. 

Прогнозирование эффективных деформационных свойств и определение статистических характеристик случайных полей напряжений и деформаций в компонентах двухфазных волокнистых и дисперсно-упрочненных композитов связаны с необходимостью решения стохастически нелинейных краевых задач, для построения приближенных решений которых (например, полного корреляционного приближения) требуются описывающие многочастичное взаимодействие в системе армирующих элементов двух- и трехточечные моментные функции структурных модулей упругости второго, третьего, четвертого и пятого порядков. Эти функции определяются центральными моментами соответствующих порядков случайного индикатора $\lambda(\bf{r})$.

Моментные функции второго порядка $K_\lambda^{(2)}(\bf{r_1,r_2})$ позволяют определить степень взаимодействия и характер упорядоченности между соседними и удаленными друг от друга элементами структуры; третьего порядка $K_\lambda^{(3)}(\bf{r_1,r_2,r_3})$ характеризуют форму, а четвертого порядка $K_\lambda^{(4)}(\bf{r_1,r_2,r_3})$ позволяют установить, как группируются включения \cite{ber}.

Стохастический характер структуры композитов обусловлен случайностью формы, взаимного расположения и ориентации волокон, разбросом характерных размеров частиц армирующего наполнителя. В настоящее время существует потребность определения «скрытых» параметров порядка стохастических структур (например, детерминированных периодических и квази-детерминированных составляющих), практически не отражающихся на эффективных упругих характеристиках этих материалов, но предопределяющих сценарии развития процесса разрушения.

Исследование закономерностей случайных структур будем проводить на основе анализа сгенерированных плоских фрагментов (синтез которых связан со случайным размещением непересекающихся гладких дисков на плоскости \cite{vs,zlt,zlt3}), считая, что волокна двухфазного композита имеют круглое поперечное сечение (рис. 1). При моделировании структур композитов будем предполагать, что координаты центров размещаемых внутри синтезируемого фрагмента дисков (поперечных сечений волокон) являются независимыми равномерными случайными величинами, а характерные размеры волокон описываются одномодальными статистическими законами распределения: симметричными (нормальный) и несимметричными (логнормальный). Кроме того, ограничим законы распределения диаметров слева заданным минимальным значением $D_{min}$ (которое для всех генерируемых структур будет равно $D_{min}=<D>/2$) и будем считать неизменным отношение $<D>/L=0.01$ среднего диаметра волокон $D$ к характерному размеру фрагмента $L$.

\begin{figure}[!h]
\label{struct1}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ris/struct2}
\caption{Фрагмент модельной структуры волокнистого композита, диаметры которых описываются нормальным законом}
\end{center}
\end{figure}

Эти предположения и ограничения согласуются с результатами построения законов распределения диаметров волокон однонаправленно армированного стеклопластиков на основе эпоксидной \cite{vs} и ненасыщенной полиэфирной смолы горячего отверждения ПН–1 \cite{fkg}, оправданы организацией технологического процесса получения волокнистых наполнителей. Как свидетельствуют представленные в этих работах результаты, проверка по критерию $\chi^2$ Пирсона показала, что нормальный закон может быть принят с вероятностью ошибочного отклонения гипотезы не более 6\%, а логнормальный — не более 2\%. 

Расположение волокон в сечении может быть охарактеризовано распределением длин промежутков между волокнами, измеренных в произвольном направлении. В монографии \cite{vs} приведены результаты, показывающие, что с вероятностью не более 6\% по критерию $\chi^2$ Пирсона можно отклонить гипотезу о нормальном распределении минимальных расстояний между волокнами. Вместе с тем, авторами \cite{fkg} была доказана эквивалентность законов распределения длин промежутков и минимальных расстояний между волокнами.

Предположение о том, что диаметры волокон двухфазных однонаправленно армированных композитов являются случайными не вносит существенных корректировок в алгоритмы синтеза структур этих материалов. Для достижения объемных наполнений, близких к предельным, генерация структуры может, при необходимости, сопровождать дополнительным взаимным перемещением, вновь и ранее размещаемых волокон \cite{vs,zlt,zlt3}, а также запрещением выхода какой-либо части поперечного сечения армирующего элемента за границы области.

Однако возможна дополнительная модификация алгоритмов \cite{vs,zlt,zlt3} процедурой предварительной сортировки (по возрастанию значений) последовательности псевдослучайных диаметров волокон, распределенных по заданному статистическому закону \cite{zlt4}. Последующее случайное размещение волокон внутри фрагмента происходит в порядке уменьшения диаметров. Использование предварительной сортировки оправдано необходимостью строгого соблюдения соответствия заданного теоретического и эмпирического (построенного по сгенерированной случайной структуре) статистических законов распределения характерных размеров включений. Можно предположить, что невыполнение этого условия может наблюдаться у материалов, которые содержат как крупные, так и мелкие фракции (поскольку вероятность размещения внутри синтезируемого фрагмента волокон с малыми диаметрами намного больше вероятности расположения волокон большого диаметра).

Вычисление моментных функций можно проводить при помощи алгоритмов, использованных для экспериментального построения этих функций по микрошлифам структуры металлов [13] и стеклопластиков [1]. Реализация этих алгоритмов связана с построением вспомогательных координатных сеток, определением принадлежности каждого узла этих сеток одной из фаз материала, требует значительных аппаратных и программных затрат даже в случае сведения задачи построения моментных функций к нахождению геометрических вероятностей [1]. Действительно, обозначив $Prob(\xi)$ вероятность события $\xi$ , можно преобразовать первое слагаемое равенства

\begin{equation}
\label{k2_beg}
K_\lambda^{(2)}(\bf{r_1,r_2})=\left<\lambda^\circ(\bf{r_1})\lambda^\circ(\bf{r_2})\right>=\left<\lambda(\bf{r_1})\lambda(\bf{r_2})\right>-\nu_f^2
\end{equation}

\noindent следующим образом:

\begin{equation}
\label{ll}
\left<\lambda(\bf{r_1})\lambda(\bf{r_2})\right>=Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\land{\bf r_2}\in\Omega_f)=Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)\nu_f,
\end{equation}

\noindent а условную вероятность $Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)$ определим отношением

\begin{equation}
\label{prob}
Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)\cong\alpha/\beta.
\end{equation}
Здесь $\alpha$ --- число событий ${\bf r}\in\Omega_f\land{\bf r'}\in\Omega_f$ и $\beta$ --- число событий ${\bf r}\in\Omega_f$.

Моментные функции, построенные этим при помощи реализации этого алгоритма, очень чувствительны к шагу вспомогательной сетки. Однако, уменьшение шага вспомогательной сетки, приводит к значительному росту аппаратных и программных затрат для проведения статистического анализа каждого сгенерированного фрагмента случайной структуры.

Одним из путей преодоления данной проблемы является использование параллельных вычислений с применением технологии MPI (The Message Passing Interface), которая представляет хорошо стандартизованный механизм построения параллельных алгоритмов в модели обмена сообщениями. Кроме того, в настоящее время разработаны стандартные «привязки» MPI к языкам программирования С/С++ и Fortran 77/90, свободные и коммерческие реализации для большинства многопроцессорных платформ, а также для сетей рабочих станций UNIX и Windows NT.

Для реализации технологии MPI был использован пакет MPICH, который  поддерживает стандарт MPI 1.2 и некоторые элементы стандарта MPI 2.0.

Для решения задачи был использованы два алгоритма: в первом на нескольких процессорах определяется только принадлежность точки волокну или матрицы методом прямого перебора, а во втором помимо этого каждый процессор вычислял значения моментной функции для своего, заранее определенного направления. Многопроцессорная реализация заключалась в том, что каждый процессор перебирал точки, начиная со своего порядкового номера, с шагом, равным числу процессоров. В результате весь промежуток делился на число участков, равное числу всех процессоров.

Блок-схема алгоритма 1 приведена на рис. \ref{bs}.

\begin{figure}
\label{bs}
%\include{ris/bs.tex}
\includegraphics[width=\textwidth]{ris/bs}
\caption{Блок-схема алгоритма построения моментных функций для многопроцессорной системы МВС-1000}
\end{figure}

В результате исполнения программы с разным числом процессоров была получена следующая зависимость отношения времени счета на одном процессоре к времени счета на n процессорах от числа процессоров n (таблица \ref{time_zatr}).

\begin{table}[!h]
\footnotesize{
\caption{Временные затраты на реализацию алгоритма построения моментных функций второго порядка случайной структуры однонаправленно армированного композита}
\label{time_zatr}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\multicolumn{12}{|c|}{Число процессоров}\\
\cline{2-13}
&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
Алгоритм 1&1.000&0.867&0.800&0.667&0.599&0.599&0.533&0.533&0.467&0.467&0.533&0.599\\
\hline
Алгоритм 2&1.000&0.857&0.714&0.571&0.429&0.357&0.283&0.214&0.286&0.357&---&---\\
\hline
\end{tabular}
}
\end{table}

Вычисления были выполнены на многопроцессорной системе МВС–1000, основу которой составляет масштабируемый массив процессорных узлов. Каждый узел содержит микропроцессор Alpha 21164 с производительностью 2 GFLOPS при тактовой частоте 500 MHz и оперативную память объемом 128 MB с возможностью расширения. Процессорные узлы взаимодействуют через коммуникационные процессоры TMS320C44, имеющие по 4 внешних канала с общей пропускной способностью 80 Мбайт/с. Для управления массивом процессоров и внешними устройствами, а также для доступа к системе извне был использован хост-компьютер на базе процессора Intel с операционной системой Linux.

Отметим, что для первого алгоритма при счете на 10 процессорах время счета уменьшается более чем в два раза. Увеличение числа процессоров более 10 приводит к увеличению времени счета, что связано с затратами на пересылку данных между процессорами. Для второго алгоритма оптимальное число процессоров равняется восьми и время счета уменьшается почти в пять раз.

\pagebreak
\subsection{Безусловные трехточечные моментные функции третьего порядка}

Для снижения программно-аппаратных затрат, которые возникают в результате применения вышеописанного алгоритма, появляется потребность разработки способов аналитического построения условных и безусловных моментных функций произвольного порядка.

Рассмотрим фрагмент случайной структуры двухфазного однонаправленно армированного (рис. \ref{struct2}).

\begin{figure}[!h]
\label{struct2}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{ris/struct3}
\caption{Геометрический смысл функций $Prob\left[(\bf{r_1}\in\Omega_f\land\bf{r_2}\in\Omega_f)\mid\bf{r_3}\in\Omega_f\right]$}
\end{center}
\end{figure}


{\bf Определение~1.} Назовем {\it прообразом} фрагмент, представляющий конкретную реализацию случайной структуры. Будем считать, что прообраз условно неподвижен.

{\bf Определение~2.} Фрагмент, геометрически идентичный прообразу, над которым могут быть осуществлены преобразования трансляции и произвольного пространственного разворота как жесткого целого, назовем {\it образом} случайной структуры.

Безусловная трехточечная моментная функция третьего порядка может быть представлена следующим образом (\ref{k3}):

\begin{equation}
\label{k3}
\begin{array}{ll}
K_\lambda^{(3)}(r_1,r_2,r_3)&\equiv\left<\lambda^\circ(r_1)\lambda^\circ(r_2)\lambda^\circ(r_3)\right>=\left<\lambda(r_1)\lambda(r_2)\lambda(r_3)\right>-{}\\
{}&-\nu_f\left[\left<\lambda(r_1)\lambda(r_2)\right>+\left<\lambda(r_1)\lambda(r_3)\right>+\left<\lambda(r_2)\lambda(r_3)\right>\right]+2\nu_f^3
\end{array}
\end{equation}

Введем множества точек $\Omega_f$ , $\Omega'_f$ и $\Omega''_f$, принадлежащих включениям прообраза $\hat{\Omega}$ и образов $\hat{\Omega}'$ и $\hat{\Omega}''$ соответственно. Образы $\hat{\Omega}'$ и $\hat{\Omega}''$ получены в результате параллельного переноса $\hat{\Omega}$ на расстояния, определяемые векторами трансляции ${\bf \Delta r_1}$ и ${\bf |Delta r_2}$. Ориентация этих векторов относительно неподвижной системы координат, связанной с $\hat{\Omega}$, определяется углом $\Theta$, а взаимная ориентация --- углом $\phi$ (рис. \ref{struct2}). Обратим внимание на то,что для статистически изотропного случайного поля структуры аргументами моментной функции третьего порядка будут $|\Delta r_1|$, $|\Delta r_2|$ и $\phi$. 

Тогда геометрическим смыслом условной вероятности $Prob\left[r_1\in\Omega_f\mid(r_2\in\Omega_f\land r_3\in\Omega_f)\right]$, которая содержится в выражении (\ref{k3}) в виде произведения

\begin{equation}
\label{ml3}
\begin{array}{ll}
\left<\lambda({\bf r_1})\lambda({\bf r_2})\lambda({\bf r_3})\right>&
=Prob\left({\bf r_1}\in\Omega_f\land {\bf r_2}\in\Omega_f\land {\bf r_3}\in\Omega_f\right)={}\\
{}&=Prob\left[{\bf r_1} \in\Omega_f\mid({\bf r_2}\in\Omega_f\land {\bf r_3}\in\Omega_f)\right]\times{}\\
{}&\times Prob\left[{\bf r_2}\in\Omega_f\mid {\bf r_3}\in\Omega_f\right]Prob\left[{\bf r_3}\in\Omega_f\right]
\end{array}
\end{equation} 

\noindent является мера $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)$ множества точек, получаемых при пересечении включений, принадлежащих $\hat{\Omega}$, $\hat{\Omega}'$  и $\hat{\Omega}''$ (рис. \ref{struct2}). Геометрический смысл условной вероятности $Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)$ в уравнении (\ref{ml3}) может быть определен как отношение меры пересечения множеств $\Omega_f$ и $\Omega'_f$ точек, принадлежащих включениям образа $\hat{\Omega}'$ и образа $\hat{\Omega}''$ соответственно к мере множества $\Omega_f'$ ($mes\Omega'_f=\nu_f mes\hat{\Omega}')$:

\begin{equation}
\label{probr1r2}
\begin{array}{ll}
Prob({\bf r_1}\in\Omega'_f\mid{\bf r_2}\in\Omega'_f)&=\frac{mes(\Omega'_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega'_f}={}\\
{}&=\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega'_i\cap\Omega''_j)}
{\sum_{i=1}^N mes\Omega_f^{(i)}}=
\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega'_i\cap\Omega''_j)}{\nu_f mes\hat{\Omega}'}.
\end{array}
\end{equation}

Здесь $\Omega'_i\subset\Omega'_f$ и $\Omega''_j\subset\Omega''_f$ --- конкретные включения, принадлежащие $\hat{\Omega}'$ и $\hat{\Omega}''$, а $N$ --- количество включений.

Принимая во внимание что

$$
\begin{array}{ll}
Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)&=\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)}{mes\Omega_f}={}\\
{}&=\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)}{\sum_{i=1}^N mes\Omega_f^{(i)}}=
\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)}{\nu_f mes\hat{\Omega}},
\end{array}
$$

а также то, что $Prob[r_3\in\Omega_f]=\nu_f$ можно записать следующее выражение:

\begin{equation}
\label{ml3_p}
\left<\lambda({\bf r_1})\lambda({\bf r_2})\lambda({\bf r_3})\right>=\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega''_f}\nu_f.
\end{equation}

Для нахождения меры $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)$, необходимо рассмотреть ряд вспомогательных геометрических задач по пересечению трех кругов различного диаметра. Возможные варианты пересечения включений показаны на рис. \ref{cross}:

\begin{figure}[!h]
\label{cross}
\includegraphics[width=\textwidth]{ris/circles}
\caption{Возможные варианты пересечения включений прообраза $\Omega$ с включениями образов $\Omega'$ и $\Omega''$}
\end{figure}

Рассмотрим подробнее эти варианты:

\begin{enumerate}
\item Все три включения совпадают если одновременно выполняются следующие условия:
$$
r_i=r_j,\qquad r_j=r_k,\qquad r_i=r_k, R_{ij}=0.0, R_{ik}=0.0, R_{jk}=0.0;
$$
В этом случае $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)=\pi\cdot r_i^2.$

\item Отсутствие пересечений реализуется при выполнении одного из следующих условий:
$$
R_{ij}\ge r_i+r_j, R_{ik}\ge r_i+r_k, R_{jk}\ge r_j+r_k.
$$

\noindent$mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)=0$.

$i$-е включение совпадает с $j$-м включением и лежит внутри $k$-го включения (рис. \ref{cross}, а):
$$
r_i=r_j, R_{ij}=0.0, r_k \ge R_{jk}+r_j.
$$
Мера $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)=\pi\cdot r_i^2.$

\item $i$-е включение совпадает с $j$-м включением и $k$-е включение лежит внутри (рис. \ref{cross}, б):
$$
r_i=r_j, R_{ij}=0.0, r_i\ge R_{jk}+r_k.
$$
Мера $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)=\pi\cdot r_k^2.$

\item $i$-е включение лежит внутри пересечения $j$-го и $k$-го включений (рис. \ref{cross}, в):
$$
R_{jk}<r_j+r_k, r_k\ge R_{ik}+r_i, r_j\ge R_{ij}+r_i.
$$
Мера $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)=\pi\cdot r_i^2.$

\item $i$-е включение лежит внутри $j$-го и $k$-го включений, которые не совпадают и не пересекаются (рис. \ref{cross}, г):
$$
r_k\ge r_j+R_{jk}, r_j\ge r_i+R_{ij};
$$ или
$$
r_j\ge r_k+R_{jk}, r_k\ge r_i+R_{ik}.
$$
Мера $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)=\pi\cdot r_i^2.$

\item $i$-е и $j$-е включения лежат внутри $k$-го включения и пересекаются (рис. \ref{cross}, д):
$$
r_k\ge r_i+R_{ik}, r_k\ge r_j+R_{jk}, R_{ij}<r_i+r_j. 
$$
Мера
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)&=r_i^2\cdot\arccos\left[\frac{1.0}{2\cdot R_{ij}\cdot r_i}\cdot\left(r_i^2-r_j^2+R_{ij}^2\right)\right]+{}\\
{}&+r_j^2\cdot\arccos\left[\frac{1.0}{2\cdot R_{ij}\cdot r_j}\cdot\left(r_j^2-r_i^2+R_{ij}^2\right)\right]-{}\\
{}&-2\cdot\sqrt{p\cdot(p-r_i)\cdot(p-r_j)\cdot(p-R_{ij})},
\end{array}
\end{equation}
$$
p=\frac{1}{2}\cdot(r_i+r_j+R_{ij}).
$$

\item Случай, показанный на рис. \ref{cross}, е - если выполняются оба условия:

$R^{(l)}_{jx_{ik}}$ - расстояние от центра $j$ окружности до $l$-той точки пересечения $i$ и $k$ окружностей.
$$
r_j>R^{(1)}_{jx_{ik}}, r_j>R^{(2)}_{jx_{ik}}
$$

Мера
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)&=r_i^2\cdot\arccos\left[\frac{1.0}{2\cdot R_{ij}\cdot r_i}\cdot\left(r_i^2-r_j^2+R_{ij}^2\right)\right]+{}\\
{}&+r_j^2\cdot\arccos\left[\frac{1.0}{2\cdot R_{ij}\cdot r_j}\cdot\left(r_j^2-r_i^2+R_{ij}^2\right)\right]-{}\\
{}&-2\cdot\sqrt{p\cdot(p-r_i)\cdot(p-r_j)\cdot(p-R_{ij})},
\end{array}
\end{equation}
$$
p=\frac{1}{2}\cdot(r_i+r_j+R_{ij}).
$$

\item Случай, показанный на рис. \ref{cross}, ж - если выполняются оба условия:

$R^{(l)}_{jx_{ik}}$ - расстояние от центра $j$ окружности до $l$-той точки пересечения $i$ и $k$ окружностей.
$$
r_j<R^{(1)}_{jx_{ik}}, r_j<R^{(2)}_{jx_{ik}}
$$

Найдем площадь пересечения включений для данного случая:

Пусть $S_{ij}$ -- площадь пересечения $i$ и $j$ включений, а $S_{jk}$ -- площадь пересечения $j$ и $k$ включений. За $S_j$обозначим площадь $j$ включения.

Площадь фигуры, получающейся при пересечении трех включений найдем по формуле (\ref{mesOmega}):

\begin{equation}
\label{mesOmega}
mes\:\Omega_{inters} = S_j - (S_j-S_{ij}) - (S_j-S_{jk}),
\end{equation}

Или, после раскрытия скобок:

\begin{equation}
\label{mesOmega2}
mes\:\Omega_{inters} = S_{ij}+S_{jk}-S_j,
\end{equation}

$S_{ij}$ и $S_{jk}$ находятся по формуле (\ref{mesij}), а $S_j=\pi r_j^2$. В результате подстановки получаем формулу (\ref{mesOmega3}):

\begin{equation}
\label{mesOmega3}
\begin{array}{rcl}
mes\:\Omega_{inters} = r_j^2\cdot
\left(
\arccos\left[\frac{1}{2R_{ij}r_j}\cdot\left(r_j^2-r_i^2+R_{ij}^2\right)\right]+
\arccos\left[\frac{1}{2R_{jk}r_j}\cdot\left(r_j^2-r_i^2+R_{jk}^2\right)\right]-\pi
\right)+\\
{}+
r_i^2\arccos\left[\frac{1}{2R_{ij}r_i}\cdot\left(r_i^2-r_j^2+R_{ij}^2\right)\right]+
r_k^2\arccos\left[\frac{1}{2R_{jk}r_k}\cdot\left(r_k^2-r_j^2+R_{jk}^2\right)\right]-\\
{}-2\cdot\left(
\sqrt{p_1(p_1-r_i)(p_1-r_j)(p_1-R_{ij})}+
\sqrt{p_2(p_2-r_k)(p_2-r_j)(p_2-R_{jk})}
\right)
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{p1p2}
p_1=\frac{1}{2}\cdot\left(r_i+r_j+R_{ij}\right);\newline
p_2=\frac{1}{2}\cdot\left(r_k+r_j+R_{jk}\right).
\end{equation}

Здесь $R_{mn}$ --- расстояние между центрами $m$ и $n$ включений,\\
$R_{mn}=\sqrt{(x_m-x_n-Rn_1)^2+(y_m-y_n-Rn_2)^2}$, $n_1$ и $n_2$ --- компоненты единичного вектора нормали, $n_1^2+n_2^2=1$, $R=|\bf{\Delta r}|$.

\item Случай, показанный на рис. \ref{cross}, з - если выполняются оба условия:

$R^{(l)}_{jx_{ik}}$ - расстояние от центра $j$ окружности до $l$-той точки пересечения $i$ и $k$ окружностей.
$$
r_j<R^{(1)}_{jx_{ik}}, r_j>R^{(2)}_{jx_{ik}}
$$

\end{enumerate}

Конкретизируем остальные слагаемые, входящие в выражение (\ref{k3})\cite{zlt3}:

\begin{equation}
\label{ll1}
\left<\lambda(\bf{r_1})\lambda(\bf{r_2})\right>=Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\land{\bf r_2}\in\Omega_f)=Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)\nu_f,
\end{equation}

Условная вероятность $Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)$ определяется отношением

\begin{equation}
\label{probr1r2}
\begin{array}{ll}
Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)&=\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)}{mes\Omega_f}={}\\
{}&=\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)}{\sum_{i=1}^N mes\Omega_f^{(i)}}=
\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)}{\nu_f mes\hat{\Omega}}.
\end{array}
\end{equation}

Здесь $\Omega_i\subset\Omega_f$ и $\Omega'_j\subset\Omega'_f$ --- конкретные включения, принадлежащие $\hat{\Omega}$ и $\hat{\Omega}'$, а $N$ --- количество включений.

Важными характеристиками структуры однонаправленно армированных волокнистых и дисперсно-упрочненных композитов являются диаметры включений $D$ и минимальные расстояния между частицами армирующего наполнителя $d$, которые являются детерминированными или случайными, распределенными по заданным статистическим законам. Очевидно, что для каждого сгенерированного фрагмента $D\in[{D_{min},D_{max}}]$, $d\in[{d_{min},d_{max}}]$. Тогда необходимым и достаточным условием ненулевого пересечения включений будет являться одновременное удовлетворение неравенств

\begin{equation}
\label{krit}
R < r_i + r_j ,
\quad
r_i < R + r_j ,
\quad
r_j < R + r_i ,
\quad
R \le D_{min} ,
\quad
R = |\bf{\Delta r}|,
\end{equation}

\noindent для меры $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)$. Для мер $mes(\Omega'_f\cap\Omega''_f)$ и $mes(\Omega_f\cap\Omega''_f)$ необходимые и достаточные условия аналогичны.

Принимая во внимание выражения (\ref{ll1}) и (\ref{probr1r2}) можно записать выражение для безусловного трехточечного момента $K_\lambda^{(3)}(R_1,R_2,\phi)$ следующим образом:

\begin{equation}
\label{k3_end}
\begin{array}{ll}
K_\lambda^{(3)}(R_1,R_2,\phi)&=\nu_f\left\{\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega''_f}-\right.\\
{}&\left.-\nu_f\left[\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)}{mes\Omega'_f}+\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega''_f}+\frac{mes(\Omega'_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega''_f}\right]\right\}+2\nu_f^3,
\end{array}
\end{equation} 

\noindent или

\begin{equation}
\label{k3_mrij}
\begin{array}{ll}
K_\lambda^{(3)}(R_1,R_2,\phi)&=\frac{\nu_f}{mes\Omega_f}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{k=1}{N}\left\{mes(\Omega_i\cap\Omega'_j\cap\Omega''_k)-\right.{}\\
{}&\left.-\nu_f\left[mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)+mes(\Omega_i\cap\Omega''_k)+mes(\Omega'_j\cap\Omega''_k)\right]\right\}+2\nu_f^3.
\end{array}
\end{equation}


Здесь $R_1=|{\bf \Delta r_1}|$ и $R_2=|{\bf \Delta r_2}|$. 

Меры пресечения $mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)$ из формулы (\ref{k3_end}) определяются следующим образом:

\begin{equation}
\label{mesij}
mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, &d_{ij}\ge r_i+r_j;\\
\pi r_i^2, &r_j\ge d_{ij}+r_i;\\
\pi r_j^2, &r_i\ge d_{ij}+r_j;\\
\kappa_1, &(d_{ij}\le r_i+r_j)\lor(r_i\le d_{ij}+r_j)\lor(r_j\le d_{ij}+r_i),
\end{array}\right.
\end{equation}

$$
\begin{array}{ll}
\kappa_1&=r_i^2\arccos\left[\frac{1}{2d_{ij}r_i}\left(r_i^2+r_j^2-d_{ij}^2\right)\right]+r_j^2\arccos\left[\frac{1}{2d_{ij}r_j}\left(r_i^2+r_j^2-d_{ij}^2\right)\right]-{}\\
{}&-2\sqrt{p_1(p_1-r_i)(p_1-r_j)(p_1-d_{ij})},
\end{array}
$$

$$
p_1=\frac{1}{2}(r_i+r_j+d_{ij}), d_{ij}=\sqrt{(x_i-x'_j-Rn_1)^2+(y_i-y'_j-Rn_2)^2},
$$

\noindent Здесь $d_{ij}$ --- расстояние между центрами $i$ включения прообраза $\hat{\Omega}$ ($x_i$ и $x_j$ --- координаты центра) и $j$ включения образа $\hat{\Omega}'$ (${x}'_i$ и ${x}'_j$ --- координаты центра), радиусы $\hat{\Omega }$ и $\hat{\Omega}'$ равны $r_i$ и $r_j$ соответственно; $R = |\bf{\Delta r}|$.

Аналогичные выражения записываются и для двух других мер пересечения. Для $mes(\Omega'_j\cap\Omega''_k)$:

\begin{equation}
\label{mesjk}
mes(\Omega'_j\cap\Omega'_k)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, &d_{jk}\ge r_j+r_k;\\
\pi r_j^2, &r_k\ge d_{jk}+r_j;\\
\pi r_k^2, &r_j\ge d_{jk}+r_k;\\
\kappa_2, &(d_{jk}\le r_j+r_k)\lor(r_j\le d_{jk}+r_k)\lor(r_k\le d_{jk}+r_j),
\end{array}\right.
\end{equation}

$$
\begin{array}{ll}
\kappa_2&=r_j^2\arccos\left[\frac{1}{2d_{jk}r_j}\left(r_j^2+r_k^2-d_{jk}^2\right)\right]+r_k^2\arccos\left[\frac{1}{2d_{jk}r_k}\left(r_j^2+r_k^2-d_{jk}^2\right)\right]-{}\\
{}&-2\sqrt{p_2(p_2-r_j)(p_2-r_k)(p_2-d_{jk})},
\end{array}
$$

$$
p_2=\frac{1}{2}(r_j+r_k+d_{jk}), d_{jk}=\sqrt{(x'_j-x''_k-Rn_1)^2+(y'_j-y''_k-Rn_2)^2},
$$

И для $mes(\Omega_f\cap\Omega''_f)$:

\begin{equation}
\label{mesik}
mes(\Omega_i\cap\Omega''_k)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, &d_{ik}\ge r_i+r_k;\\
\pi r_i^2, &r_k\ge d_{ik}+r_k;\\
\pi r_k^2, &r_i\ge d_{ik}+r_k;\\
\kappa_3, &(d_{ik}\le r_i+r_k)\lor(r_i\le d_{ik}+r_k)\lor(r_k\le d_{ik}+r_i),
\end{array}\right.
\end{equation}

$$
\begin{array}{ll}
\kappa_3&=r_i^2\arccos\left[\frac{1}{2d_{ik}r_i}\left(r_i^2+r_k^2-d_{ik}^2\right)\right]+r_k^2\arccos\left[\frac{1}{2d_{ik}r_k}\left(r_i^2+r_k^2-d_{ik}^2\right)\right]-{}\\
{}&-2\sqrt{p_3(p_3-r_i)(p_3-r_k)(p_3-d_{ik})},
\end{array}
$$

$$
p_3=\frac{1}{2}(r_i+r_k+d_{ik}), d_{ik}=\sqrt{(x_i-x''_k-Rn_1)^2+(y_i-y''_k-Rn_2)^2}.
$$

Из анализа условий сходимости рядов (\ref{k3_end}) также может быть получена информация о характере затухания статистических моментов третьего порядка. Существование конечного передела позволит определить асимптоты, вокруг которых происходит осцилляция моментных функций, а анализ знака сумм, входящих в выражения (\ref{k3_mr}) --- определить наличие или отсутствие периодических составляющих в случайных полях структуры. 

Выражение (\ref{k3_end}) можно также записать в следующем виде:

\begin{equation}
\label{k3_mr}
\begin{array}{ll}
K_\lambda^{(3)}(R_1,R_2,\phi)&=\frac{\nu_f}{mes\Omega_f}\sum_{i=1}^N\left\{mes(\Omega_i\cap\Omega'_i\cap\Omega''_i)-\nu_f\left[mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)+\right.\right.{}\\
{}&\left.\left.+mes(\Omega_i\cap\Omega''_i)+mes(\Omega'_i\cap\Omega''_i)\right]\right\}+{}\\
{}&+\frac{\nu_f}{mes\Omega_f}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{k=1}{N}(1-\delta_{ijk})\left\{mes(\Omega_i\cap\Omega'_j\cap\Omega''_k)-\right.{}\\
{}&\left.-\nu_f\left[mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)+mes(\Omega_i\cap\Omega''_k)+mes(\Omega'_j\cap\Omega''_k)\right]\right\}+2\nu_f^3.
\end{array}
\end{equation}

Здесь $\delta_{ijk}$ --- коэффициенты, принимающие значения 1 при совпадающих индексах и 0, если хотя бы один из трех индексов отличается от двух других различны (при $i,j=1\dots3$ эти коэффициенты являются обобщенными символами Кронекера). 

В данном выражении в отдельную группу выделены слагаемые, соответствующие приближению "малых расстояний", которое реализуется для $R=|\bf{\Delta r}|$, удовлетворяющих неравенству

\begin{equation}
\label{mrasst}
R\le min[D_{min},d_{min}].
\end{equation}

В этом случае будет иметь место пересечение $i$-х включений образов с $i$-м включением прообраза ($\Omega_i\cap\Omega'_i\cap\Omega''_i$). В приближении "малых расстояний" соотношения (\ref{probr1r2}) значительно упрощаются:

\begin{equation}
\label{probr1r2_m}
Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)=\frac{\sum_{i=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)}{\sum_{i=1}^N mes\Omega_f^{(i)}}=\frac{\sum_{i=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)}{\nu_fmes\Omega}.
\end{equation}

Меры пересечений $mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)$ в приближении "малых расстояний" находятся по следующим формулам:

\begin{equation}
\label{mes_m}
mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)=\left\{
\begin{array}{ll}
2r_i^2\arccos\left(\frac{R}{2r_i}\right)-\frac{R}{2}\sqrt{r_i^2-\frac{R^2}{4}}, &R<2r_i;\\
0, &R\ge 2r_i.\\
\end{array}\right.
\end{equation}

Если двухфазные композиты содержат включения одинакового радиуса ($r_i=r_j=r$), то из выражения (\ref{mes_m}) будет следовать равенство, полученное ранее авторами \cite{it2}:

\begin{equation}
mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)=\left\{
\begin{array}{ll}
2r^2\arccos\left(\frac{R}{2r}\right)-2\sqrt{r^2-\frac{R^2}{4}}, &R<2r;\\
\pi r^2, &R\equiv 0;\\
0, &R=2r.\\
\end{array}\right.
\end{equation}

В приближении "малых расстояний" вид моментной функции $\tilde{K}_\lambda^{(3)}(R)$ значительно упрощается:

\begin{equation}
\label{k3m}
\begin{array}{ll}
K_\lambda^{(3)}(R_1,R_2,\phi)&=\frac{\nu_f}{mes\Omega_f}\sum_{i=1}{N}\left\{mes(\Omega_i\cap\Omega'_i\cap\Omega''_i)-\nu_f\left[mes\Omega_i\cap\Omega'_i+\right.\right.{}\\
{}&\left.\left.+mes(\Omega_i\cap\Omega''_i)+mes(\Omega'_f\cap\Omega''_f)\right]\right\}+2\nu_f^3.
\end{array}
\end{equation}

Аналитическое соотношение в виде ряда (\ref{k3m}) для нормированных корреляционных функций случайных структур двухфазных композитов матричного типа в приближении "малых" расстояний позволяет получить точные выражения для производных этих функций при значениях аргумента, равных нулю.

\pagebreak
\subsection{Условные двухточечные моментные функции третьего порядка}

Условная двухточечная моментная функция третьего порядка может быть получена из безусловной трехточечной, если в ней приравнять друг другу два любых аргумента. Заменим в выражении (\ref{k3}) ${\bf r_2}$ на ${\bf r_1}$, в результате получим следующее выражение (\ref{k3usl}):

\begin{equation}
\label{k3usl}
K_\lambda^{(3)}({\bf r_1,r_1,r_3})=\nu_f\left[-\nu_f-2\left(<\lambda({\bf r_1})\lambda({\bf r_3})>-\nu_f^2\right)\right].
\end{equation}

Можно увидеть, что в данном случае условный двухточечный момент третьего порядка может быть выражен через момент второго порядка. Примеры условных двухточечных моментов приведены на рисунке \ref{m2f}.

\begin{figure}[!h]
\label{m2f}
\includegraphics[width=\textwidth]{ris/funct2}
\caption{Условные двухточечные моментные функции третьего порядка}
\end{figure}

Принимая во внимание выражения (\ref{ml3}) и (\ref{probr1r2}) можно записать выражение для условного двухточечного момента следующим образом:

\begin{equation}
\label{k3u_mes}
K_\lambda^{(3)}({\bf r_1,r_1,r_3})=\nu_f\left[-\nu_f-2\left(\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega''_j)}{mes\hat{\Omega}}-\nu_f^2\right)\right],
\end{equation}

\noindent или, в приближении малых расстояний:

\begin{equation}
\label{k3u_mes_mr}
K_\lambda^{(3)}({\bf r_1,r_1,r_3})=\nu_f\left[-\nu_f-2\left(\frac{\sum_{i=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega''_i)}{mes\hat{\Omega}}-\nu_f^2\right)\right].
\end{equation}

Дифференцируя выражение (\ref{k3u_mes_mr}) можно получить выражение для производной условной моментной функции третьего порядка в точках, соответствующих нулевым значениям аргумента. Эта производная полностью совпадает с производной момента второго порядка:

\begin{equation}
\label{proizv2}
\left.\frac{d}{dR}\tilde{K}_\lambda^{(3)}(R)\right|_{R=0}=-\frac{3<r_i>}{2\pi(1-\nu_f)\left<r_i^2\right>}\equiv
-\frac{3\aleph}{4\pi\nu_f(1-\nu_f)mes\hat{\Omega}}.
\end{equation}

Здесь $R=|\bf{\Delta r}|$. Как видим, для плоских случайных структур искомая производная при любых объемных наполнениях имеет отрицательный знак, определяется отношением меры $\aleph=mes\partial\Omega_f$, связанной с межфазной границей (суммарный периметр) к площади прообраза $mes\hat{\Omega}$ ($mes\Omega_f = \nu_f mes\hat{\Omega})$. Кроме того, значение производной при корреляционной функции при $R = 0$ не зависит от направляющих косинусов углов ориентации вектора трансляции $\bf{\Delta r}$.

Для случайных структур армирующие элементы которых имеют детерминированные размеры ($r_i = r)$, выражение (\ref{proizv2}) значительно упрощается:

\begin{equation}
\label{proizv2rir}
\left.\frac{d}{dR}\tilde{K}_\lambda^{(3)}(R)\right|_{R=0}=-\frac{3}{2\pi(1-\nu_f)r}.
\end{equation}

Как видим, значение производной в рассматриваемом частном случае определяется только объемным наполнением $\nu_f $ и характерным размером включений.

\begin{table}[!h]
\label{table1}
\caption{Значение первой производной нормированных корреляционных функций $\frac{d}{dR}\tilde{K}_\lambda^{(3)}(R)$ для случайных структур однонаправленно армированных композитов с круглыми в поперечном сечении волокнами ($\nu_f=0.4$ и $d=0.25<D>$)}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$k_D$&0,600&0,500&0,400&0,300&0,200&0,100&0,000\\
\hline
Нормальный&–0,097&–0,104&–0,112&–0,121&–0,128&–0,132&-0,133\\
\hline
Логнормальный&–0,096&–0,104&–0,114&–0,121&–0,128&–0,132&–0,133\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

Обратим внимание на то, что выражение (\ref{proizv2}) справедливо для структурно-неоднородных сред, армированных частицами произвольной формы и, что особенно важно, не зависят от взаимного расположения и связности включений.

\begin{table}[!h]
\label{table2}
\caption{Значение первой производной нормированных корреляционных функций $\frac{d}{dR}\tilde{K}_\lambda^{(3)}(R)$ для случайных структур однонаправленно армированных волокнистых композитов с предельным для $d/<D>=0$ наполнением}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$k_D$&0,600&0,500&0,400&0,300&0,200&0,100&0,000\\
\hline
Нормальный&–0,352&–0,375&–0,397&–0,420&–0,436&–0,443&-0.499\\
\hline
Логнормальный&–0,370&–0,392&–0,411&–0,427&–0,437&–0,443&–0,499\\
\hline
\end{tabular} 
\end{table}

Поскольку знаменатель отношения $<r_i>/<r_i^2>$ входящего в выражение (\ref{proizv2}), чувствительны к изменению радиусов включений, различных плоских случайных структур двухфазных однонаправленно армированных композитов матричного типа оценим виляние типа закона распределения характерных размеров волокон на значения производных нормированных корреляционных функций. Результаты, представленные в табл. \ref{table1} свидетельствуют, что при заданной объемной доле волокон при коэффициентах вариации диаметров $k_D$ от 0,0 до 0,6 значения производных не зависят от типа закона распределения. Вместе с тем, для структур с предельным для заданного $k_D$ объемным наполнением при $k_D>4$ значения производных существенно зависит от типа закона распределения (табл. \ref{table2}). Это прежде всего связано с более неоднородным фракционным составом материала, который предопределяется несимметричным логнормальным законом распределения диаметров волокон.

\pagebreak
\subsection{Выводы по разделу}

Получены аналитические выражения в виде рядов для безусловных трехточечных и условных двухточечных моментных функций третьего порядка случайной структуры двухфазных однонаправленно армированных композитов матричного типа.

Получены точные выражения для производных условных двухточечных моментных функций третьего порядка случайной структуры двухфазных однонаправленно армированных композитов, которые определяются отношением мер, связанных с межфазной границей (поверхностью) и частицами армирующего наполнителя.

Подготовлен пакет прикладных программ для построения моментных функций второго и третьего порядков (для одно- и многопроцессорных систем).
