\chapter{Геометрическая модель тканого композиционного материала с
искривленными волокнами и внутренними технологическими дефектами}

В главе\insecondtext

\section{Разработка твердотельной модели тканого композита с локальными
технологическими дефектами}

\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
\label{c1:geometry}

Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geom}
 \caption{Геометрия изгиба волокна}
 \label{fig:c2:geometry}
\end{figure}

Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.

С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
 \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
 \label{fig:c2:regular}
\end{figure}

Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
плоскости слоя.

Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
 \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:fiber_skip}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:one_fiber_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:two_fibers_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
 \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
 \label{fig:c2:pore}
\end{figure}

Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.

\clearpage

\subsection{Постановка краевой задачи для слоя тканого композита}

Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия

\begin{equation}
 \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
\end{equation}

\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 

\begin{equation}
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
\label{eq:Koshi}
\end{equation}

Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
записаны следующим образом:

\begin{equation}
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
\label{eq:Guck}
\end{equation}

\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.

Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
быть дополнена граничными условиями:

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond}
\end{equation}

\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное деформирование в плоскости
слоя и условиями идеального сопряжения

\begin{equation}
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
 \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
 {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
 \label{eq:b_cond_ideal}
\end{equation}

\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
 \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
 \label{fig:c2:b_cond}
\end{figure}

Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
перемещения, сама поверхность свободна от напряжений:

\begin{equation}
 \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
 \label{eq:b_cond_free}
\end{equation}

а ее точки не имеют ограничений на перемещения. В случае насыщения внутренней
поры соответствующие объемы материала обладают свойствами матрицы.



\section{Численное решение краевой задачи упругости методом конечных 
элементов}

Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
\eqref{eq:b_cond} -- \eqref{eq:b_cond_free}  решается численно методом конечных
элементов, который является одним из наиболее эффективных методов решения задач
механики деформируемого твердого тела и расчета конструкций из тканых
композитов.

Решать задачу будем с помощью некоммерческого пакета Code-Aster, входящего в
состав платформы SALOME-MECA. Этот пакет был разработан и сертифицирован
специально для французской энергетической отрасли и предназначен для задач
механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма,
выполнения расчетов для строительных конструкций и сооружений
\cite{bib:code-aster:common, bib:code-aster:presentation}.

Дискретизация матрицы проводилась на 14-узловые тетраэдральные элементы
(рис.~\ref{fig:elements}~а), волокно разбивалось на 20-узловые гексаэдральные
элементы (рис.~\ref{fig:elements}~б).

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=8cm]{elements}
 \caption{Пример конечных элементов: а) тетраэдральный, б) гексаэдральный}
 \label{fig:elements}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:mesh:matrix} представлена конечно-элементная сетка фрагмента
матрицы слоя модельного тканого композита полотняного переплетения.
Конечно-элементная сетка волокон представлена на рис.~\ref{fig:mesh:fibers}.

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/matrix}
 \caption{Пример дискретизации матрицы}
 \label{fig:mesh:matrix}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/fibers}
 \caption{Пример дискретизации волокон}
 \label{fig:mesh:fibers}
\end{figure}

Для сопряжения конечно-элементных сеток армирующего каркаса и матрицы на этапе
дискретизации выделялись <<главная>> и <<подчиненная>> поверхности. На этапе
расчета узловые точки <<подчиненной>> поверхности (например, принадлежащие
матрице) проецировались на те ближайшие конечные элементы, грани которых
расположены на <<главной>> поверхности, и считались принадлежащими этим
элементам. Перемещения точек <подчиненной>> поверхности заменялись перемещениями
их проекций на элемент <<главной>> поверхности \cite{bib:code-aster:contact}.

Модуль Юнга $E_f = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0{,}20$
волокон соответствовали данным работы \cite{bib:tarnapolsky}.
Упругие модули поликристаллической матрицы были выбраны следующими: $E_m
= 0{,}28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$. 

\section{Тестирование математической модели тканого композита с искривленными
волокнами}

Для проверки корректности построения математической модели решалась задача по
определению напряженно-деформированного состояния при двухосном
равнокомпонентном деформировании слоя тканого композита с искривленными
волокнами для сеток с разным количеством конечных элементов и проводилось
сравнение значений интенсивностей напряжений $\sigma_I$ в точке, находящейся 
в геометрическом центре слоя тканого композита с бездефектной идеальной
периодической структурой. Такие же задачи решались для модели слоя тканого
композита с дефектом в виде туннельной поры, для случаев когда полость,
возникающая в следствие дефекта доуплотняется материалом связующего или
остается незаполненной. 

Зависимость интенсивностей напряжений в точке, находящейся в центре слоя
тканного композита от количества конечных элементов показана в таблице
\ref{tab:convergence}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Зависимость интенсивностей напряжений от количества конечных
элементов}

  \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
    \hline
    \multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Идеальная периодическая структура}& 
    \multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Туннельная пора}&
    \multicolumn{2}{|p{5cm}|}{Туннельная пора, доуплотненная материалом
связующего} \\
    \hline
    $C$ & $\sigma_{I}$  & $C$ & $\sigma_{I}$ & $C$ & $\sigma_{I}$ \\
    \hline
    \hline
    218 207 & 33.6 & 213 381 & 38.0 & 194 196 & 37.9 \\
    \hline
    271 644 & 32.0 & 261 695 & 36.2 & 241 932 & 36.0 \\
    \hline
    365 283 & 31.1 & 345 396 & 35.2 & 326 327 & 35.2 \\
    \hline
    427 855 & 31.2 & 402 304 & 35.4 & 382 954 & 35.3  \\
    \hline
   \end{tabular}
 \label{tab:convergence}
\end{table}

Из таблицы видно, что расхождение между интенсивностями напряжений в двух
последних вычислительных экспериментах не превышает $1\%$, что может
свидетельствовать о достаточной степени дискретизации модели.

Распределения интенсивностей напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой, полученные в ходе решения задачи показаны на
рис.~\ref{fig:vmis_v1_s1}. 

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s1}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой}
 \label{fig:vmis_v1_s1}
\end{figure}

Из рисунка видно, что распределение искомых полей в рассматриваемом случае
удовлетворяют условиям симметрии и периодичности геометрической модели и
приложенной внешней нагрузке, что говорит о корректно построенной
геометрической модели и корректности полученного численного решения.
Максимальных значений интенсивность напряжений достигает в местах наибольшей
кривизны волокон.

Параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям неизменности
качественных и количественных характеристик для моделей с различными видами
дефектов, а также для модели с идеальной периодической структурой представлены
в таблице~\ref{tab:discr}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Параметры конечно-элементной сетки}
   \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
    \hline
      & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
    \hline
    \hline
     Идеальная периодическая структура & 298~255 & 77~760 \\
    \hline
     Тунельная пора & 285~664 & 69~984 \\
    \hline
     Туннельная пора с доуплотнением & 266~314 & 69~984 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы & 285~466 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы с доуплотнением & 296~499 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка & 279~276 & 72~576 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 276~175 & 72~576 \\
    \hline
     Внутренняя технологическая пора & 287~934 & 77~760 \\
    \hline
  \end{tabular}
 \label{tab:discr}
\end{table}

\section*{Выводы ко второй главе}
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы ко второй главе}

\begin{enumerate}
 \item Построена геометрическая модель фрагмента слоя тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, разрыв волокон основы и утка и
внутренняя технологическая пора.
 \item На основе численного решения задачи двухосного равнокомпонентного
растяжения в плоскости слоя тканого композита проведено тестирование полученной
модели.
 \item Приведены параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям
условиям сходимости задачи.
 \item Приведены блок-схема алгоритма и модель разработанной базы данных для
рассчета коэффициентов концентрации в слое тканого композита, вызванных наличием
локльных технологических дефектов.
\end{enumerate}
