\chapter{Математическая модель слоя тканого композиционного материала 
полотняного плетения с локальными технологическими дефектами}

В главе\insecondtext

\section{Твердотельная геометрическая модель тканого композита полотняного 
плетения}

Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
Считаем, что искривление нитей основы и утка ткани задается
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
полагаем, что углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geom}
 \caption{Геометрия изгиба волокна}
 \label{fig:c2:geometry}
\end{figure}

Построение геометрической модели слоя тканого композита проводится с
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.

С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
 \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
 \label{fig:c2:regular}
\end{figure}

Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
плоскости слоя.

Будем рассматривать случаи, когда между волокнами основы и утка присутствует 
гарантированная прослойка матрицы~(рис.~\ref{fig:c2:fragment_slice}~а) либо 
волокна основы и утка соприкасаются в местах наибольших кривизн, в следствие 
чего возникает контакт между волокнами~(рис.~\ref{fig:c2:fragment_slice}~б).

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=0.7\linewidth]{geometry/fragment_slice}
 \caption{Срез фрагмента слоя тканого композита с идеальной периодической 
структурой: а)~волокна окружены гарантированной прослойкой матрицы, б)~наличие 
площадки контакта между волокнами.}
 \label{fig:c2:fragment_slice}
\end{figure}

Для моделирования выберем дефекты, типичные для тканых композитов с
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
 \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:fiber_skip}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:one_fiber_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:two_fibers_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
 \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
 \label{fig:c2:pore}
\end{figure}

Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
или вызванные наличием внутренней технологической поры, имеют характерные
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.

Примем гипотезу о том, что волокна и матрица слоя модельного тканого композита 
изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию, взаимное расположение и 
тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты тензора напряжений 
$\sigma_{ij} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия

\begin{equation}
 \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:c2:Eqvilibrium}
\end{equation}

\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 

\begin{equation}
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
\label{eq:c2:Koshi}
\end{equation}

Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
записаны следующим образом:

\begin{equation}
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
\label{eq:c2:Guck}
\end{equation}

\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.

Краевая задача \eqref{eq:c2:Eqvilibrium}--\eqref{eq:c2:Guck} должна
быть дополнена граничными условиями:

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_1^0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:c2:b_cond}
\end{equation}

\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное деформирование в плоскости
слоя и условиями идеального сопряжения

\begin{equation}
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
 \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
 {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
 \label{eq:c2:b_cond_ideal}
\end{equation}

\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=12cm]{geometry/v2/bc}
 \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
 \label{fig:c2:b_cond}
\end{figure}

Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей, имеют
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
перемещения, сама поверхность свободна от напряжений:

\begin{equation}
 \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
 \label{eq:c2:b_cond_free}
\end{equation}

а ее точки не имеют ограничений на перемещения. В случае насыщения внутренней
поры соответствующие объемы материала обладают свойствами матрицы.

В процессе изготовления тканого композиционного материала с поликристаллической
матрицей не всегда удается исключить соприкосновение нитей основы и утка,
вследствие чего в конструкции могут возникать такие локальные дефекты как
разрывы нитей основы, разрывы нитей основы и утка, а также внутренние
технологические поры. Поэтому необходимо построение моделей, где волокна основы
и утка не всегда окружены гарантированной прослойкой поликристаллической
матрицы. 

Положение и геометрия контактных поверхностей считаю заданными и неизменными
в процессе нагружения слоя. Кроме того, будем считать справедливыми условия
контакта с кулоновским трением, тогда на $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 

\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[
{f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
\label{eq:c2:b_cond_Colomb_1}
\end{equation}

\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]|_{\Gamma_9^{+}} \geq
\left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right]|_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[f|\sigma_{nn} {\bf (r)}| \right] |_{\Gamma_9^{-}},\quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}}, 
\label{eq:c2:b_cond_Colomb_2}
\end{equation}

\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
поверхности $\Gamma_9$.

В случае, если в слое тканого композита с поликристаллической матрицей не
исключено соприкосновение волокон, вблизи мест с максимальной
кривизной волокон остаются герметичные полости, незаполненные материалом
матрицы. На поверхностях этих пор отсутствуют ограничения на перемещения, а
сама поверхность свободна от напряжений. Граничные условия на этих поверхностях
аналогичны граничным условиям (\ref{eq:c2:b_cond_free}).

Краевая задача \eqref{eq:c2:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:c2:Guck} с граничными 
условиями \eqref{eq:c2:b_cond} -- \eqref{eq:c2:b_cond_free}  решается численно 
методом конечных элементов, который является одним из наиболее эффективных 
методов решения задач механики деформируемого твердого тела и расчета 
конструкций из тканых композитов.

Решать задачу будем с помощью некоммерческого пакета Code-Aster, входящего в
состав платформы SALOME-MECA. Этот пакет был разработан и сертифицирован
специально для французской энергетической отрасли и предназначен для задач
механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма,
выполнения расчетов для строительных конструкций и сооружений
\cite{bib:code-aster:common, bib:code-aster:presentation}.

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=8cm]{elements}
 \caption{Пример конечных элементов: а) тетраэдральный, б) гексаэдральный}
 \label{fig:c2:elements}
\end{figure}

Дискретизация матрицы проводилась на 10-узловые тетраэдральные элементы
(рис.~\ref{fig:c2:elements}~а), волокно разбивалось на 20-узловые гексаэдральные
элементы (рис.~\ref{fig:c2:elements}~б).

На рис.~\ref{fig:c2:mesh:matrix} представлена конечно-элементная сетка фрагмента
матрицы слоя модельного тканого композита полотняного переплетения.
Конечно-элементная сетка волокон представлена на рис.~\ref{fig:c2:mesh:fibers}.

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=15cm]{mesh/v2/matrix}
 \caption{Пример дискретизации матрицы}
 \label{fig:c2:mesh:matrix}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/fibers}
 \caption{Пример дискретизации волокон}
 \label{fig:c2:mesh:fibers}
\end{figure}

Решение контактных задач производилось стандартными средствами пакета 
Code-Aster. Для сопряжения конечно-элементных сеток армирующего каркаса и 
матрицы на этапе дискретизации выделялись <<главная>> и <<подчиненная>> 
поверхности. На этапе расчета узловые точки <<подчиненной>> поверхности 
(например, принадлежащие матрице) проецировались на те ближайшие конечные 
элементы, грани которых расположены на <<главной>> поверхности, и считались 
принадлежащими этим элементам. Перемещения точек <<подчиненной>> поверхности 
заменялись перемещениями их проекций на элемент <<главной>> поверхности 
\cite{bib:code-aster:contact}.

Для тестирования твердотельной модели и получения численного решения были 
выбраны модуль Юнга $E_f = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0{,}20$ 
волокон, что соответствовало данным работы \cite{bib:tarnapolsky}.
Упругие модули поликристаллической матрицы были выбраны следующими: $E_m
= 0{,}28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$. В случае когда между волокнами 
присутствует контакт с трением, необходимо задать статический коэффициент трения
\cite{bib:code-aster:contact}: $f = 0,12$, который соответствует случаю
скольжения волокна по поверхности поликристаллической матрицы. 

Пакет Code-Aster позволяет решать задачу, используя несколько вычислительных 
потоков одновременно. Зависимость времени решения задачи от количества 
вычислительных потоков относительно времени решения задачи с 
использованием одного потока показано в таблице~\ref{tab:c2:multiprocessing}. 
Вычисления производились на рабочей станции с процессором Intel Core i7-2640M с 
четырьмя вычислительными процессами и тактовой частотой $2{,}8$ ГГц. Объем 
оперативной памяти рабочей станции составлял 16 ГБ.

\begin{table}[ht!]
 \begin{minipage}{\linewidth}
 \renewcommand\thempfootnote{\arabic{mpfootnote}}
 \caption[Зависимость относительного времени 
вычислений от числа процессов]{Зависимость относительного 
\footnote{нормировка была проведена 
относительно времени вычислений с использованием одного процесса} времени 
вычислений от числа процессов}
  \begin{tabular}{|p{10cm}||
                   >{\centering\arraybackslash}p{3cm}|
                   >{\centering\arraybackslash}p{3cm}| }
    \hline
    Модель & 2 процесса & 4 процесса \\
    \hline
    \hline
    Идеальная периодическая структура  & 0.95 & 0.91 \\
    \hline
    Туннельная пора  & 0.98 & 0.96 \\
    \hline
    Туннельная пора, доуплотненная материалом связующего & 0.97 & 0.94 \\
    \hline
   \end{tabular}
  \label{tab:c2:multiprocessing}
 \end{minipage}
\end{table}

Как видно из таблицы, увеличение количества вычислительных процессов для 
данной задачи не приводит к существенному снижению времени вычислений. Это 
связано с тем, что большая часть времени приходится на операции ввода-вывода и 
зависит от скорости жестких дисков и количества оперативной памяти рабочей 
станции, на которой производится расчет.

Для тестирования построенной математической модели решалась задача по
определению напряженно-деформированного состояния при двухосном
равнокомпонентном деформировании слоя тканого композита с искривленными
волокнами для сеток с разным количеством конечных элементов и проводилось
сравнение значений интенсивностей напряжений $\sigma_I$ в точке, находящейся 
в геометрическом центре слоя тканого композита с бездефектной идеальной
периодической структурой. Такие же задачи решались для модели слоя тканого
композита с дефектом в виде туннельной поры, для случаев когда полость,
возникающая в следствие дефекта, доуплотняется материалом связующего или
остается незаполненной. 

Зависимость максимальных значений интенсивности напряжений в точке, находящейся 
в центре слоя тканного композита от количества конечных элементов показана в 
таблице \ref{tab:c2:convergence}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Зависимость максимальных значений интенсивности напряжений 
($\sigma_i$) от количества конечных элементов ($N$)}

  \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
    \hline
    \multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Идеальная периодическая структура}& 
    \multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Туннельная пора}&
    \multicolumn{2}{|p{5cm}|}{Туннельная пора, доуплотненная материалом
связующего} \\
    \hline
    $N$ & $\sigma_{i}$  & $N$ & $\sigma_{i}$ & $N$ & $\sigma_{i}$ \\
    \hline
    \hline
    218 207 & 33.6 & 213 381 & 38.0 & 194 196 & 37.9 \\
    \hline
    271 644 & 32.0 & 261 695 & 36.2 & 241 932 & 36.0 \\
    \hline
    365 283 & 31.1 & 345 396 & 35.2 & 326 327 & 35.2 \\
    \hline
    427 855 & 31.2 & 402 304 & 35.4 & 382 954 & 35.3  \\
    \hline
   \end{tabular}
 \label{tab:c2:convergence}
\end{table}

Как видим, различие между интенсивностями напряжений в двух последних 
вычислительных экспериментах не превышает $1\%$, что может свидетельствовать о 
достаточной степени дискретизации модели.

Распределения интенсивностей напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой, полученные в ходе решения задачи показаны на
рис.~\ref{fig:c2:vmis_v1_s1}. Распределение искомых полей в рассматриваемом 
случае удовлетворяют условиям симметрии и периодичности геометрической модели и
приложенной внешней нагрузке, что говорит о корректно построенной
геометрической модели и корректности полученного численного решения.
Максимальных значений интенсивность напряжений достигает в местах наибольшей
кривизны волокон.

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s1}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой}
 \label{fig:c2:vmis_v1_s1}
\end{figure}

Параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям неизменности
качественных и количественных характеристик для моделей с различными видами
дефектов, а также для модели с идеальной периодической структурой представлены
в таблице~\ref{tab:c2:discr}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Параметры конечно-элементной сетки при наличии гарантированной прослойки матрицы между
 волокнами основы и утка}
   \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
    \hline
      & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
    \hline
    \hline
     Идеальная периодическая структура & 298~255 & 77~760 \\
    \hline
     Туннельная пора & 285~664 & 69~984 \\
    \hline
     Туннельная пора с доуплотнением & 266~314 & 69~984 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы & 285~466 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы с доуплотнением & 296~499 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка & 279~276 & 72~576 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 276~175 & 72~576 \\
    \hline
     Внутренняя технологическая пора & 287~934 & 77~760 \\
    \hline
  \end{tabular}
 \label{tab:c2:discr}
\end{table}

При наличии между волокнами основы и утка площадки контакта с трением необходимо 
дополнительное сгущение сетки матрицы в местах, находящихся вблизи участков 
наибольшей кривизны волокон. Параметры конечно-элементной сетки для такого 
случая представлены в таблице \ref{tab:c2:discr:contact}.

\begin{table}[ht]
 \caption{Параметры конечно-элементной сетки при наличии контакта с трением  
между волокнами основы и утка}
 \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
    \hline
      & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
    \hline
    \hline
     Идеальная периодическая структура & 405~480 & 77~760 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы & 405~480 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы с доуплотнением & 355~341 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка & 405~480 & 72~576 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 390~862 & 72~576 \\
    \hline
 \end{tabular}
 \label{tab:c2:discr:contact}
\end{table}

\pagebreak
\section{Модуль расширений платформы моделирования SALOME-MECA для анализа 
напряженного состояния слоя тканого композита}

Для анализа напряженного состояния слоя тканого композита необходимо 
обрабатывать большой объем информации. Кроме этого возникает 
необходимость сопоставлять между собой результаты решения различных 
краевых задач для схожих конечно-элементных моделей. Данная операция не 
предусматривается в стандартном инструментарии платформы SALOME-MECA. Открытая 
архитектура платформы позволяет разработать модуль расширений для необходимого 
анализа.

Пусть $\Theta$ --- анализируемый параметр поля напряжений, определенный в 
некоторой точке тела из численного решения краевой задачи методом конечных 
элементов. В качестве языка для написания модуля расширений был выбран 
объектно-ориентированный язык программирования Python 2.7, который 
предоставляет структуры данных высокого уровня, имеет изящный синтаксис и 
использует динамический контроль типов, что делает его идеальным языком для 
быстрого написания различных приложений, работающих на большинстве 
распространенных платформ \cite{bib:rossum}. 

Диаграмма классов модуля расширения платформы SALOME-MECA для расчета  
параметра $\Theta$ показана на рис.~\ref{fig:c2:classDiagramm}.

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=\linewidth]{classDiagramm}
 \caption{Диаграмма классов модуля расширений для вычисления параметра $\Theta$}
 \label{fig:c2:classDiagramm}
\end{figure}

Модуль расширения реализуется одним основным и тремя вспомогательными классами:

\begin{itemize}
 \item \verb TKCalculator  --- основной класс для вычисления параметра $\Theta$ 
в
 каждой точке конечно-элементной сетки;
 \item \verb TPoint  --- вспомогательный класс для описания точки в трехмерном 
пространстве;
 \item \verb TKValues  --- вспомогательный класс для описания множества 
значений параметра $\Theta$ в каждой точке конечно-элементной сетки;
 \item \verb TObjective  --- вспомогательный класс для описания параметров 
задачи, при которых необходимо найти значения параметра $\Theta$.
\end{itemize}

В классе TKCalculator реализован метод для импорта данных из выходных файлов 
конечно-элементного процессора Code-Aster, входящего в состав платформы 
SALOME-MECA (fillFromFile), метод для получения значений параметра $\Theta$ в 
произвольной точки конечно-элементной сетки по указанным координатам 
(getKForPoint), а также метод для вывода значений параметра $\Theta$ 
для каждой точки конечно-элементной сетки в файл (saveKToFile), для 
последующего анализа или графического отображения.

Для исключения ошибок использования классов используется 4 перечисления:

\begin{itemize}
 \item \verb EProblem  --- вид задачи, может принимать значения: 
 \begin{description}
  \item [СС\_Without\_Contact ]: керамические волокна в 
поликристаллической матрице без учета контакта с трением;
  \item [CC\_With\_Contact ]: керамические волокна в поликристаллической 
матрице при наличии контакта с трением;
  \item [CS\_Without\_Contact ]: стальные волокна в поликристаллической 
матрице без учета контакта с трением;
  \item [CS\_With\_Contact ]: стальные волокна в поликристаллической 
матрице при наличии контакта с трением.
 \end{description}

 \item \verb ESchema  --- схема нагружения, может принимать значения:
 \begin{description}
  \item [X1X3\_Tension]: двухсторонняя равнокомпонентная деформация растяжения в
 плоскости слоя;
  \item [X1\_Tension]: деформация растяжения в направлении волокон основы;
  \item [X1\_Tension\_X3\_Compression]: чистое формоизменение;
  \item [X1X3\_Compression]: двухсторонняя равнокомпонентная деформация сжатия в
  плоскости слоя;
  \item [X1\_Compression]: деформация сжатия в направлении волокон основы;
  \item [X1X3\_Unequal\_Compression]: двухсторонняя неравнокомпонентная 
  деформация сжатия в плоскости слоя.
 \end{description}

 \item \verb EDefect  --- дефект, может принимать значения:
 \begin{description}
  \item [Regular]: идеальная периодическая структура;
  \item [Fiber\_Skip]: пропуск волокна основы;
  \item [Fiber\_Skip\_Matrix]: пропуск волокна основы с учетом доуплотнения 
  полости образованной дефектом материалом матрицы;
  \item [One\_Fiber\_Break]: разрыв волокна основы;
  \item [One\_Fiber\_Break\_Matrix]: разрыв волокна основы с учетом 
доуплотнения полости образованной дефектом материалом матрицы;
  \item [Two\_Fibers\_Break]: разрыв волокон основы и утка;
  \item [Two\_Fibers\_Break\_Matrix]: разрыв волокон основы и утка с учетом 
  доуплотнения полости образованной дефектом материалом матрицы;
  \item [Pore]: внутренняя технологическая пора.
 \end{description}

 \item \verb EPhase  --- фаза, может принимать значения:
 \begin{description}
  \item [Matrix]: фаза матрицы;
  \item [Fibers]: фаза волокон.
 \end{description}
\end{itemize}

Для систематизации данных, полученных в результате решения краевых задач, а 
также для увеличения скорости обработки большого объема данных была разработана 
база данных, инфологическая схема которой представлена на рис.~\ref{fig:c2:er}.

\immediate\write18{dot -Tpng -o fig/er.png er.dot}
\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=0.8\linewidth]{er}
 \caption{ER-диаграмма базы данных для вычисления параметра $\Theta$}
 \label{fig:c2:er}
\end{figure}

В базе данных использовались две стержневые сущности (<<Свойства>> и 
<<Точки>>), а также ассоциация между ними. Стержневая сущность <<Точки>> с 
составным ключом {\bf X$_1$, X$_2$, X$_3$} предназначена для хранения координат 
точек конечно-элементной сетки. Стержневая сущность <<Свойства>> с составным 
ключом {\bf Задача, Схема нагружения, Дефект, Фаза} предназначена для хранения 
информации о компонентах тензора напряжений и интенсивности напряжений для 
каждой 
точки конечно-элементной сетки. Значения атрибутов составного ключа сущности 
<<Свойства>> соответствуют значениям классов-перечислений 
\verb EProblem , \verb ESchema , \verb EDefect  и \verb EPhase .

Даталогическая модель базы данных для вычисления параметра $\Theta$ 
представлена на рис.~\ref{fig:c2:datalogical}.

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=0.5\linewidth]{datalogical}
 \caption{Даталогическая модель базы данных для вычисления параметра $\Theta$}
 \label{fig:c2:datalogical}
\end{figure}

Соответствия свойств во всех точках конечно-элементной сетки модели с идеальной 
периодической структурой соответствующим точкам конечно-элементной сетки модели 
с внутренним технологическим дефектом могут быть найдены с помощью реляционного 
выражения~\ref{eq:c2:relP}:

\begin{equation}
  \begin{array}{rl}
  P = & (\sigma_{defectId = 0}(Properties~P_1) \\
      & [P_1.pointId = P_2.pointId] \\
      & \sigma_{defectId \neq 0}(Properties~P_2)) \\
      & [P1.pointId = Points.pointId]Points.
  \end{array}
 \label{eq:c2:relP}
\end{equation}

Проецируя отношение $P$ на соответствующие атрибуты, найдем значения 
параметра $\Theta$ для каждой точки конечно-элементной сетки 
(\ref{eq:c2:relK}):

\begin{equation}
  \begin{array}{rl}
    \Theta = & P[X1, X2, X3, \\
        & P_2.sigma\_11 \tau P_1.sigma\_11, P_2.sigma\_22 \tau P_1.sigma\_22, \\
        & P_2.sigma\_33 \tau P_1.sigma\_33, P_2.sigma\_12 \tau P_1.sigma\_12, \\
        & P_2.sigma\_13 \tau P_1.sigma\_13, P_2.sigma\_23 \tau P_1.sigma\_13, \\
        & P_2.sigma\_I \tau P_1.sigma\_I].
  \end{array}
 \label{eq:c2:relK}
\end{equation}

С помощью ограничения отношения $\Theta$ по атрибутам \verb problemId , \\
\verb schemaId , \verb defectId  и \verb phaseId  можно получить значения 
параметра $\Theta$ в каждой точке конечно-элементной сетки для необходимого 
вида задачи, схемы нагружения, типа дефекта или фазы материала. При ограничении 
отношения $\Theta$ по атрибутам \verb X1 , \verb X2  и \verb X3  получим 
значения параметра $\Theta$ в необходимой точке конечно-элементной сетки.

В качестве системы управления базой данных для реализации физической модели 
была выбрана встраиваемая СУБД SQLite 2.8.17. Выбор данной СУБД был обусловлен 
простотой использования, отсутствием необходимости установки и настройки 
сервера 
СУБД, высокой скоростью выполнения запросов, а также доступностью для 
большинства операционных систем.

\section*{Выводы по второй главе}
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы ко второй главе}

\begin{enumerate}
 \item Построены геометрическая и математическая модели фрагмента слоя тканого 
композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, разрыв волокон основы и утка и
внутренняя технологическая пора.
 \item На основе численного решения задачи макрооднородной двухосной 
равнокомпонентной деформации растяжения в плоскости слоя тканого композита 
проведено тестирование разработанной модели, показавшее, что при выбранной 
степени дискретизации полученные результаты ни качественно ни количественно не 
изменяются при дальнейшем увеличении количества конечных элементов. Доказана 
сходимость задачи.
 \item Разработан модуль расширений для платформы численного моделирования 
SALOME-MECA для вычисления параметров напряженно-деформированного состояния 
слоя тканого композита полотняного плетения.
\end{enumerate}
