From 2560d7dc0298d679dac1db17c173014e4de130e2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Denis V. Dedkov" Date: Tue, 24 Jun 2014 17:58:48 +0600 Subject: [PATCH] Chapters 2 and 3 was fixed --- c2.tex | 2 +- c3.tex | 160 ++++++++++++++++++++++++++++++++------------------------- 2 files changed, 92 insertions(+), 70 deletions(-) diff --git a/c2.tex b/c2.tex index 5ffaae7..c266c82 100644 --- a/c2.tex +++ b/c2.tex @@ -163,7 +163,7 @@ C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\} \begin{equation} \begin{array}{c} - u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\ + u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_1^0, \\ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = diff --git a/c3.tex b/c3.tex index 54d4065..83d15e4 100644 --- a/c3.tex +++ b/c3.tex @@ -72,10 +72,18 @@ table[ \section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоя тканого композита c керамическими волокнами и поликристаллической матрицей} -\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений} +\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при деформации двухстороннего +равнокомпонентного растяжения в плоскости слоя} -Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены на -рисунке~\ref{fig:c3:max_k_s1}: +Найдем коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с +керамическими волокнами и поликристаллической матрицей с учетом граничных +условий~\ref{eq:b_cond}, соответствующие деформации двухстороннего +равнокомпонентного растяжения в плоскости слоя. + +Максимальные значения коэффициентов концентрации в точке, соответствующей +центру межволоконного пространства для компонент тензора напряжений модели с +гарантированной прослойкой матрицы представлены на +рисунке~\ref{fig:c3:max_k_s0}. \begin{figure}[ht!] \centering @@ -83,78 +91,125 @@ c керамическими волокнами и поликристаллич \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре межволоконного пространства тканого композита при двухосном равнокомпонентном растяжении в плоскости слоя} - \label{fig:c3:max_k_s1} + \label{fig:c3:max_k_s0} \end{figure} -Как видно из таблицы, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для всех -типов дефектов кроме внутренней технологической поры вносит касательная -составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, её значение в модели с -дефектом более чем в $2$ раза превышает соответствующее значение в идеальной -периодической модели. В случае внутренней технологической поры значения -коэффициентов концентраций превышают $4$ и соответствуют касательным -составляющим тензора напряжений $\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$. +Как видно из рисунка, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для дефекта, +представляющего собой пропуск волокна основы вносит касательная составляющая +тензора напряжения $\sigma_{23}$. При возникновении такого дефекта как разрыв +волокна основы максимальный вклад вносит нормальная компонента тензора +напряжений $\sigma_{22}$. При одновременном разрыве волокон основы и утка +максимальный вклад вносит касательная компонента тензора напряжений +$\sigma_{13}$. При наличии внутренней технологической поры максимальный вклад +вносит касательная компонента тензора напряжений $\sigma_{12}$. Для всех +дефектов кроме разрыва волокон основы может произойти разрушение матрицы по +механизмам сдвигов в плоскости слоя. Разрыв волокна основы может привести к +расслоению матрицы. При этом дополнительные технологические операции по +доуплотнению полости, образованной дефектом, позволяют снизить влияние +концентраторов напряжений. -На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s1}~--~\ref{fig:k_d5_s1} показаны распределения +На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s0}~--~\ref{fig:k_d7_s0} показаны распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с -искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных +искривленными волокнами и поликристаллической матрицей для случая когда +волокна окружены гарантированной прослойкой матрицы при наличии различных типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита материалом матрицы. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют -области, расположенные вблизи локальных дефектов, где интенсивности напряжений -превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное для композита -идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза для случаев разрыва волокна -основы и внутренней технологической поры, в $1{,}4$ раза для случая пропуска -волокна основы и в $1{,}5$ раз для одновременного разрыва волокон основы и -утка. При этом, в случае пропуска волокна основы или разрыва волокон основы и -утка, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть -снижено до $1{,}3$ с помощью дополнительных операций доуплотнения -поликристаллической матрицы. +области, расположенные вблизи локальных дефектов, при этом, в случае наличия +дефекта максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений приходятся +на фазу тканого наполнителя. При наличии материала матрицы в полостях, +образованных дефектами максимальные значения коэффициентов концентрации +интенсивностей напряжений приходятся на фазу матрицы. \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d1d2} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом доуплотнения~(б)} - \label{fig:k_d1d2_s1} + \label{fig:k_d1d2_s0} \end{figure} -\pagebreak - \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d3d4} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом доуплотнения~(б)} - \label{fig:k_d3d6_s1} + \label{fig:k_d3d4_s0} \end{figure} +\pagebreak + \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d5d6} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом доуплотнения~(б)} - \label{fig:k_d4d7_s1} + \label{fig:k_d5d6_s0} \end{figure} -\pagebreak - \begin{figure}[ht!] \centering \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/s0/s0d7} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с внутренней технологической порой} - \label{fig:k_d5_s1} + \label{fig:k_d7_s0} \end{figure} -\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при чистом сдвиге} +Структура распределения максимальных значений коэффициентов концентрации +напряжений в точке, соответствующей центру межволоконного пространства, при +условии наличия площадки контакта с трением между волокнами показана на +рис.~\ref{fig:c3:max_k_s1_f}. -Если в краевой задаче \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} заменить -граничные условия \ref{eq:b_cond} граничными условиями +\begin{figure}[ht!] + \centering + \kdiagram{tables/p1s0.csv} + \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре +межволоконного пространства тканого композита при равнокомпонентном двухосном +растяжении} + \label{fig:c3:max_k_s1_f} +\end{figure} + +Из рисунка видно, что при наличии контакта с трением между волокнами для всех +типов дефектов наибольший вклад в коэффициенты концентрации вносит нормальная +составляющая тензора напряжений $\sigma_{22}$, что может свидетельствовать о +возможном начале разрушения слоя материала по механизмам расслоения матрицы в +направлении, перпендикулярном плоскости слоя. Дополнительное насыщение полости, +образованной дефектом позволяет снизить коэффициенты концентрации в $1{,}2$ -- +$1{,}6$ раз. + +Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванных +наличием различных типов дефектов, в слое тканного композита при условии +наличия контакта с трением между волокнами показаны на +рис.~\ref{fig:c3:k_d3d4_s0} -- \ref{fig:c3:k_d5d6_s0}. + +\begin{figure}[ht!] + \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d1d3} + \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в +слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом +доуплотнения~(б)} + \label{fig:c3:k_d3d4_s0} +\end{figure} + +\begin{figure}[ht!] + \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d2d4} + \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в +слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом +доуплотнения~(б)} + \label{fig:c3:k_d5d6_s0} +\end{figure} + + +\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при деформации чистого +формоизменения} + +Найдем коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с +керамическими волокнами и поликристаллической матрицей с учетом граничных +условий~\ref{eq:c3:b_cond:s1}: \begin{equation} \begin{array}{c} - u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = -u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0,\\ + u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = -u_1^0,\\ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = @@ -162,18 +217,10 @@ c керамическими волокнами и поликристаллич \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \end{array} - \label{eq:b_cond:s2} + \label{eq:c3:b_cond:s1} \end{equation} -\noindent получим задачу на чистый сдвиг, решив которую получим распределение -интенсивностей напряжений, показанных на рис.~\ref{fig:vmis_v1_s2}. - -\begin{figure}[ht] - \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s2} - \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной -периодической структурой при чистом формоизменении} - \label{fig:vmis_v1_s2} -\end{figure} +\noindent соответствующие деформации чистого формоизменения. Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений в слое тканного композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии @@ -420,15 +467,6 @@ $\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая \label{fig:c3:vmis_v2_s1} \end{figure} -\begin{figure}[ht!] - \centering - \kdiagram{tables/p1s0.csv} - \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре -межволоконного пространства тканого композита при равнокомпонентном двухосном -растяжении} - \label{fig:c3:max_k_s1_f} -\end{figure} - На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s1} представлены распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений для слоя модельного тканого композита с разрывом волокна основы и разрывом волокон @@ -445,22 +483,6 @@ $\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая (рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1}~б) и $3{,}1$ при разрыве волокон основы и утка одновременно (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s1}~б). -\begin{figure}[ht!] - \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d1d3} - \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в -слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом -доуплотнения~(б)} - \label{fig:c3:k_d1d3_s1} -\end{figure} - -\begin{figure}[ht!] - \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d2d4} - \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в -слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом -доуплотнения~(б)} - \label{fig:c3:k_d2d4_s1} -\end{figure} - \subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с соприкасающимися волокнами при чистом сдвиге}