Subsections 2.1.1 and 2.1.2 is finished
This commit is contained in:
243
c2.tex
243
c2.tex
@@ -4,27 +4,24 @@
|
||||
\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения тканого композита с
|
||||
поликристаллической матрицей}
|
||||
|
||||
Рассмотрим слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
||||
\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
|
||||
|
||||
Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
||||
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
|
||||
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
|
||||
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
|
||||
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
|
||||
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$ (рис.
|
||||
\ref{fig:geometry}) \cite{bib:imankulova}.
|
||||
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
|
||||
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
|
||||
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=17cm]{geom}
|
||||
\caption{Геометрия изгиба волокна}
|
||||
\label{fig:geometry}
|
||||
\label{fig:c2:geometry}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
В процессе изготовления композита не удается исключить соприкосновения
|
||||
нитей основы и утка. Поэтому будем предполагать, что искривленные
|
||||
волокна, принадлежащие слою тканого композита с идеальной
|
||||
периодической структурой, не всегда окружены гарантированным
|
||||
слоем поликристаллической матрицы, в результате чего основа и уток
|
||||
соприкасаются. Кроме того, в силу малости деформаций будем считать углы
|
||||
$\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
||||
|
||||
Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
|
||||
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
|
||||
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
|
||||
@@ -33,67 +30,96 @@ $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
||||
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
|
||||
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
|
||||
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
|
||||
моделирования реакторов.
|
||||
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
|
||||
|
||||
% На рис.~\ref{fig:defects}~а и б представлен фрагмент слоя тканого композита,
|
||||
% армирующий каркас которого образован полотняным переплетением утка и основы
|
||||
% (с коэффициентами армирования $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0,14$
|
||||
% соответственно). Здесь и далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой
|
||||
% системы координат принадлежат плоскости слоя.
|
||||
%
|
||||
% В рассматриваемом случае локальными концентраторами напряжений
|
||||
% являются технологические поры, возникающие в областях, расположенных
|
||||
% вблизи участков волокон с наибольшей кривизной (рис.~\ref{fig:pore}), и
|
||||
% дефекты, связанные со случайными разрывами нитей утка
|
||||
% (рис.~\ref{fig:defects},~а) или основы и утка (рис.~\ref{fig:defects},~б)
|
||||
% в процессе прошивки слоев. Обратим внимание на то, что локальные разрывы
|
||||
% нитей армирующего каркаса могут иметь место и в исходной ткани до
|
||||
% прошивки. Образующаяся в результате полости имеют характерные
|
||||
% размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не
|
||||
% изменяют значительно интегральные коэффициенты армирования композита,
|
||||
% могут оказаться заполненными материалом матрицы (при дополнительном уплотнении
|
||||
% с последующей карбонизацией или доосаждением материала из газовой фазы) или
|
||||
% оставаться незаполненными.
|
||||
%
|
||||
% \begin{figure}
|
||||
% \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
|
||||
% % \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d1}} \\ а)
|
||||
% \end{minipage}
|
||||
% \hfill
|
||||
% \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
|
||||
% % \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d2}} \\ б)
|
||||
% \end{minipage}
|
||||
% \caption{Локальные разрывы нитей слоя тканого композита}
|
||||
% \label{fig:defects}
|
||||
% \end{figure}
|
||||
%
|
||||
% \begin{figure}
|
||||
% \centering
|
||||
% % \includegraphics[width=0.77\linewidth]{img/pore}
|
||||
% \caption{Внутренняя технологическая пора}
|
||||
% \label{fig:pore}
|
||||
% \end{figure}
|
||||
С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
|
||||
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
|
||||
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
|
||||
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
|
||||
вычитания из твердотельного прямоугольного параллилепипеда фрагмента ткани,
|
||||
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
|
||||
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
|
||||
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
|
||||
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
|
||||
\caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
|
||||
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
|
||||
\label{fig:c2:regular}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
|
||||
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
|
||||
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
|
||||
плоскости слоя.
|
||||
|
||||
Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
|
||||
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
|
||||
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
|
||||
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
|
||||
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
|
||||
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
|
||||
\caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
|
||||
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||||
\label{fig:c2:fiber_skip}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h!]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
|
||||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
|
||||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||||
\label{fig:c2:one_fiber_break}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
|
||||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
|
||||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||||
\label{fig:c2:two_fibers_break}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht!]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
|
||||
\caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
|
||||
\label{fig:c2:pore}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
|
||||
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
|
||||
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
|
||||
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
|
||||
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
|
||||
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
|
||||
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
|
||||
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
|
||||
|
||||
\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}
|
||||
|
||||
Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
|
||||
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
|
||||
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
|
||||
тензора напряжений
|
||||
$\sigma_{ij,j} ({\bf r})$
|
||||
удовлетворяют
|
||||
уравнениям равновесия
|
||||
тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:kov:Eqvilibrium}
|
||||
\sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
|
||||
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями
|
||||
Коши
|
||||
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
|
||||
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
|
||||
\label{eq:kov:Koshi}
|
||||
\label{eq:Koshi}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
|
||||
@@ -106,96 +132,55 @@ ${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если то
|
||||
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
|
||||
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
|
||||
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
|
||||
\label{eq:kov:Guck}
|
||||
\label{eq:Guck}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
|
||||
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
|
||||
|
||||
Краевая задача \eqref{eq:kov:Eqvilibrium}--\eqref{eq:kov:Guck} должна
|
||||
Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
|
||||
быть дополнена граничными условиями
|
||||
|
||||
\begin{equation} u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf
|
||||
(r)}|_{\Gamma_1} =
|
||||
u_3^0, \label{eq:kov:b_cond}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
|
||||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
|
||||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
|
||||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||||
\end{array}
|
||||
\label{eq:b_cond}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
$$ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} =
|
||||
0,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} =
|
||||
0,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное
|
||||
равнокомпонентное деформирование в плоскости слоя и условиями
|
||||
идеального сопряжения
|
||||
\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
|
||||
деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
||||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
||||
\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i {\bf
|
||||
(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} \label{eq:kov:b_cond_ideal}
|
||||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
||||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
||||
\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
|
||||
{\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}}
|
||||
\label{eq:b_cond_ideal}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:b_cond}).
|
||||
\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!ht]
|
||||
\centering
|
||||
% \includegraphics[width=0.53\linewidth]{img/gu}
|
||||
\caption{Фрагмент тканого композита с искривленными волокнами}
|
||||
\label{fig:b_cond}
|
||||
\includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
|
||||
\caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
|
||||
\label{fig:c2:b_cond}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
В случае, если в модельном материале не исключается возможность контакта
|
||||
нитей основы и утка, на соответствующих контактных поверхностях
|
||||
$\Gamma_9$ (положение и геометрия которых считается заданными и неизменными
|
||||
в процессе нагружения слоя) будем считать справедливыми условия контакта
|
||||
с кулоновским трением. На $\Gamma_9$ следует задать 2 условия:
|
||||
|
||||
\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)}
|
||||
\right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |}
|
||||
\right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
|
||||
Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполенные матрицей имеют
|
||||
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
|
||||
перемещения, а сама поверхность свободна от напряжений:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
|
||||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
|
||||
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
|
||||
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
|
||||
\label{eq:kov:b_cond_Colomb_1}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]
|
||||
|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right ]
|
||||
|_{\Gamma_9^{-}}$, то
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[
|
||||
f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right ] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
|
||||
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
|
||||
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:kov:b_cond_Colomb_2}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
|
||||
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
|
||||
поверхности $\Gamma_9$.
|
||||
|
||||
Внутренние поры имеют место в слое композита в случае, если не
|
||||
исключается соприкосновение волокон. Это герметичные полости, недоступные
|
||||
для материала матрицы, имеют внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на
|
||||
которой отсутствуют ограничения на перемещения, а сама поверхность свободна
|
||||
от напряжений:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
||||
\label{eq:kov:b_cond_free}
|
||||
\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
||||
\label{eq:b_cond_free}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user