Subsections 2.1.1 and 2.1.2 is finished

bibliography.bib

@@ -78,3 +78,33 @@
   author = {Mickael ABBAS},
   year   = {2012}
 }
+
+@ONLINE{bib:salome,
+  url    = {http://salome-platform.org/user-section/salome-brochure},
+  title  = {SALOME 6. The Open Source integration platform for numerical
+simulations},
+  author = {Vincent Bergeaud and Vincent Lefebvre and \'{E}tinne Rossignon},
+  year   = {2012}
+}
+
+@ONLINE{bib:salome:geom,
+  url    = {http://docs.salome-platform.org/salome_6_5_0/gui/GEOM/index.html},
+  title  = {SALOME Geometry User's Guide},
+  year   = {2012}
+}
+
+@ONLINE{bib:salome:additional_geom,
+  url    =
+{http://docs.salome-platform.org/salome_6_5_0/gui/GEOM/SALOME_BOA_PA.pdf},
+  title  = {General Fuse Algorithm, Partition Algorithm, Boolean Operations
+Algorithm. Backgrounds.},
+  year   = {2010} 
+}
+
+@ONLINE{bib:laduga:geom,
+  url      = {http://www.laduga.ru/salome/salome.shtml},
+  title    = {Документация Salome Geometry},
+  author   = {<<Ладуга>> Инженерные услуги},
+  year     = {2012},
+  language = {russian}
+}

c1.tex

@@ -102,19 +102,19 @@ $900\dots1500^\circ\mathrm{C}$. На этой стадии продолжают
 
 В промышленности используют ткани, имеющие различные типы переплетения.
 Наиболее простым и широко применяемым является полотняное переплетение
-(рис.~\ref{fig:schemas},~a), где каждая нить основы и утка проходит поочередно
+(рис.~\ref{fig:c1:schemas},~a), где каждая нить основы и утка проходит
-сверху и снизу пересекающихся нитей.
+поочередно сверху и снизу пересекающихся нитей.
 
 \begin{figure}[h] 
  \includegraphics[width=17cm]{all_structs}
  \caption{Схемы типов переплетения: а) полотняное, б)
 сатиновое, в) саржевое $2\times2$}
- \label{fig:schemas}
+ \label{fig:c1:schemas}
 \end{figure}
 
-Сатиновое переплетение (рис.~\ref{fig:schemas},~б) получают путем перекрытия
+Сатиновое переплетение (рис.~\ref{fig:c1:schemas},~б) получают путем перекрытия
 одной нитью утка четырех нитей основы. При саржевом переплетении
-(рис.~\ref{fig:schemas},~в) нити основы и утка проходят поочередно сверху и
+(рис.~\ref{fig:c1:schemas},~в) нити основы и утка проходят поочередно сверху и
 снизу двух и четырех пересекающих их нитей.
 
 Ткани подразделяют по ширине: $40\dots75$~см. --- узкие, $75\dots100$~см. ---
@@ -372,39 +372,39 @@ $6\dots100$~МПа при температуре $550\dots 650^\circ\mathrm{C}$.
 Дефекты связанные с отклонениями от расчетных параметров структуры возникают на
 этапе изготовления ткани. К числу таких дефектов можно отнести отклонения в
 напралении армирующих нитей, пропуски нитей в направлении армирования (рис.
-\ref{fig:no_fiber}).
+\ref{fig:c1:no_fiber}).
 
 На этапе формирования матрицы могут возникнуть дефекты связанные с отклонением
 от расчетного распределения плотности конечного материала, а так же нарушение
 структуры армирующей ткани, возникающие на подготовительных операциях. Также, в
 следствие нарушения технологического процесса на этом этапе могут возникнуть
-трещины и внутренние поры (рис. \ref{fig:pore}).
+трещины и внутренние поры (рис. \ref{fig:c1:pore}).
 
-Разрывы волокон утка или основы (рис. \ref{fig:break}) могут возникать на каждом
+Разрывы волокон утка или основы (рис. \ref{fig:c1:break}) могут возникать на
-из этапов: на этапе формирования ткани --- вследствии очень тесного размещения
+каждом из этапов: на этапе формирования ткани --- вследствии очень тесного
-нитей, в процессе сшивки слоев ткани при формировании конструкции, на этапе
+размещения нитей, в процессе сшивки слоев ткани при формировании конструкции, на
-формирования матрицы --- из-за внутренний напряжений, возникающих в материале во
+этапе формирования матрицы --- из-за внутренний напряжений, возникающих в
-время его изготовления.
+материале во время его изготовления.
 
 \begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{d3}
  \caption{Пропуск нити в направлении армирования} 
- \label{fig:no_fiber}
+ \label{fig:c1:no_fiber}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width=14cm]{d4}
  \caption{Внутренняя технологическая пора} 
- \label{fig:pore}
+ \label{fig:c1:pore}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width=17cm]{d1d2}
  \caption{Разрывы нитей утка (а) и нитей основы и утка (б)} 
- \label{fig:break}
+ \label{fig:c1:break}
 \end{figure}
 
 Кроме того, на каждом из этапов в тканый композит могут попасть посторонние

c2.tex

@@ -4,27 +4,24 @@
 \section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения тканого композита с
 поликристаллической матрицей}
 
-Рассмотрим слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
+\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
+
+Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
 переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
 постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
 Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
 дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
-{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$ (рис.
+{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
-\ref{fig:geometry}) \cite{bib:imankulova}.
+(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
+будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
 
 \begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geom}
  \caption{Геометрия изгиба волокна}
- \label{fig:geometry}
+ \label{fig:c2:geometry}
 \end{figure}
 
-В процессе изготовления композита не удается исключить соприкосновения
-нитей основы и утка. Поэтому будем предполагать, что искривленные
-волокна, принадлежащие слою тканого композита с идеальной
-периодической структурой, не всегда окружены гарантированным
-слоем поликристаллической матрицы, в результате чего основа и уток
-соприкасаются. Кроме того, в силу малости деформаций будем считать углы
-$\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
-
 Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
 помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
 собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
@@ -33,67 +30,96 @@ $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
 приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
 SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
 NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
-моделирования реакторов.
+моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
 
-% На рис.~\ref{fig:defects}~а и б представлен фрагмент слоя тканого композита,
+С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
-% армирующий каркас которого образован полотняным переплетением утка и основы
+рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
-% (с коэффициентами армирования $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0,14$
+очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
-% соответственно). Здесь и далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой
+ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
-% системы координат принадлежат плоскости слоя.
+вычитания из твердотельного прямоугольного параллилепипеда фрагмента ткани,
-% 
+после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
-% В рассматриваемом случае локальными концентраторами напряжений
+модели тканого композита с поликристаллической матрицей
-% являются технологические поры, возникающие в областях, расположенных
+(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
-% вблизи участков волокон с наибольшей кривизной (рис.~\ref{fig:pore}), и
+bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
-% дефекты, связанные со случайными разрывами нитей утка
+
-% (рис.~\ref{fig:defects},~а) или основы и утка (рис.~\ref{fig:defects},~б)
+\begin{figure}[h]
-% в процессе прошивки слоев. Обратим внимание на то, что локальные разрывы
+ \centering
-% нитей армирующего каркаса могут иметь место и в исходной ткани до
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
-% прошивки. Образующаяся в результате полости имеют характерные
+ \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
-% размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не
+а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
-% изменяют значительно интегральные коэффициенты армирования композита,
+ \label{fig:c2:regular}
-% могут оказаться заполненными материалом матрицы (при дополнительном уплотнении
+\end{figure}
-% с последующей карбонизацией или доосаждением материала из газовой фазы) или
+
-% оставаться незаполненными.
+Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
-% 
+поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
-% \begin{figure}
+далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
-%  \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
+плоскости слоя.
-% %   \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d1}} \\ а)
+
-%  \end{minipage}
+Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
-%  \hfill
+поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
-%  \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
+(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
-% %   \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d2}} \\ б)
+(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
-%  \end{minipage}
+(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
-%  \caption{Локальные разрывы нитей слоя тканого композита}
+(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
-%  \label{fig:defects}
+
-% \end{figure}
+\begin{figure}[h]
-% 
+ \centering
-% \begin{figure}
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
-%  \centering
+ \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
-% %  \includegraphics[width=0.77\linewidth]{img/pore}
+пропитки (а) и с пропиткой (б)}
-%  \caption{Внутренняя технологическая пора}
+ \label{fig:c2:fiber_skip}
-%  \label{fig:pore}
+\end{figure}
-% \end{figure}
+
+\begin{figure}[h!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
+дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
+ \label{fig:c2:one_fiber_break}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
+дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
+ \label{fig:c2:two_fibers_break}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
+ \label{fig:c2:pore}
+\end{figure}
+
+Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
+или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
+размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
+значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
+образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
+вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
+карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
+заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
+
+\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}
 
 Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
 тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
 взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
-тензора напряжений 
+тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
-$\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ 
-удовлетворяют
-уравнениям равновесия
 
 \begin{equation}
- \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:kov:Eqvilibrium}
+ \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
 \end{equation}
 
 \noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
-с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями
+с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 
-Коши 
 
 \begin{equation}
 \varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
 r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
-\label{eq:kov:Koshi}
+\label{eq:Koshi}
 \end{equation}
 
 Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
@@ -106,96 +132,55 @@ ${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если то
 \sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
 C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
 \varepsilon_{kl}({\bf r}),
-\label{eq:kov:Guck}
+\label{eq:Guck}
 \end{equation}
 
 \noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
 коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
 
-Краевая задача \eqref{eq:kov:Eqvilibrium}--\eqref{eq:kov:Guck} должна
+Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
 быть дополнена граничными условиями
 
-\begin{equation}  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf
+\begin{equation} 
-(r)}|_{\Gamma_1} =
+ \begin{array}{c}
-u_3^0, \label{eq:kov:b_cond}
+  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
+  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
+  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
+  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
+ \end{array}
+ \label{eq:b_cond}
 \end{equation}
 
-$$ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
+\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
-{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
+деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения
-$$
-
-$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
- \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} =
- 0,
-$$
-
-$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
- \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} =
- 0,
-$$
-
-\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное
-равнокомпонентное деформирование в плоскости слоя и условиями
-идеального сопряжения
 
 \begin{equation}
-\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
+ \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
-\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
+ \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
-\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i {\bf
+ \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
-(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} \label{eq:kov:b_cond_ideal}
+ {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
+ \label{eq:b_cond_ideal}
 \end{equation}
 
-\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:b_cond}).
+\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
 
 \begin{figure}[!ht]
  \centering
-%  \includegraphics[width=0.53\linewidth]{img/gu}
+ \includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
- \caption{Фрагмент тканого композита с искривленными волокнами}
+ \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
- \label{fig:b_cond}
+ \label{fig:c2:b_cond}
 \end{figure}
 
-В случае, если в модельном материале не исключается возможность контакта
+Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполенные матрицей имеют
-нитей основы и утка, на соответствующих контактных поверхностях
+внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
-$\Gamma_9$ (положение и геометрия которых считается заданными и неизменными
+перемещения, а сама поверхность свободна от напряжений:
-в процессе нагружения слоя) будем считать справедливыми условия контакта
-с кулоновским трением. На $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 
-
-\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)}
-\right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |}
-\right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
 
 \begin{equation}
-\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
+ \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
-\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
+ \label{eq:b_cond_free}
-\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
-(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
-\label{eq:kov:b_cond_Colomb_1}
-\end{equation}
-
-\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]
-|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right ]
-|_{\Gamma_9^{-}}$, то
-
-\begin{equation}
-\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[
-f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right ] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
-\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
-(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:kov:b_cond_Colomb_2}
-\end{equation}
-
-\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
---- определяют направление внешней нормали и касательной к
-поверхности $\Gamma_9$.
-
-Внутренние поры имеют место в слое композита в случае, если не
-исключается соприкосновение волокон. Это герметичные полости, недоступные
-для материала матрицы, имеют внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на
-которой отсутствуют ограничения на перемещения, а сама поверхность свободна
-от напряжений:
-
-\begin{equation}
-\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
-\label{eq:kov:b_cond_free}
 \end{equation}
 
 \section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим

c3.tex

@@ -5,8 +5,47 @@
 композита с поликристаллической матрицей при наличии контакта с трением между
 волокнами}
 
-Краевая задача \eqref{eq:kov:Eqvilibrium}--\eqref{eq:kov:Guck} с
+В случае, если в модельном материале не исключается возможность контакта
-граничными условиями \eqref{eq:kov:b_cond}---\eqref{eq:kov:b_cond_free}
+нитей основы и утка, на соответствующих контактных поверхностях
+$\Gamma_9$ (положение и геометрия которых считается заданными и неизменными
+в процессе нагружения слоя) будем считать справедливыми условия контакта
+с кулоновским трением. На $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 
+
+\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)}
+\right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |}
+\right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
+
+\begin{equation}
+\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
+\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
+\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
+(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
+\label{eq:b_cond_Colomb_1}
+\end{equation}
+
+\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]
+|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right ]
+|_{\Gamma_9^{-}}$, то
+
+\begin{equation}
+\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[
+f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right ] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
+\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
+(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:b_cond_Colomb_2}
+\end{equation}
+
+\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
+--- определяют направление внешней нормали и касательной к
+поверхности $\Gamma_9$.
+
+Внутренние поры имеют место в слое композита в случае, если не
+исключается соприкосновение волокон. Это герметичные полости, недоступные
+для материала матрицы, 
+
+
+
+Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} с
+граничными условиями \eqref{eq:b_cond}---\eqref{eq:b_cond_free}
 решается численно методом конечных элементов в некоммерческом пакете
 Code-Aster, входящим в платформу SALOME--MECA. Этот пакет был разработан
 и сертифицирован специально для французской энергетической отрасли и

fig/geom.svg

@@ -0,0 +1,379 @@
+<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?>
+<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) -->
+
+<svg
+   xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/"
+   xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#"
+   xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#"
+   xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg"
+   xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
+   xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd"
+   xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"
+   width="3100"
+   height="950"
+   id="svg2"
+   version="1.1"
+   inkscape:version="0.48.3.1 r9886"
+   sodipodi:docname="geom.svg"
+   inkscape:export-filename="/home/denis/Documents/diser/disser_text/fig/geom.png"
+   inkscape:export-xdpi="90"
+   inkscape:export-ydpi="90">
+  <defs
+     id="defs4">
+    <marker
+       inkscape:stockid="Arrow2Lstart"
+       orient="auto"
+       refY="0"
+       refX="0"
+       id="Arrow2Lstart"
+       style="overflow:visible">
+      <path
+         id="path3863"
+         style="font-size:12px;fill-rule:evenodd;stroke-width:0.625;stroke-linejoin:round"
+         d="M 8.7185878,4.0337352 -2.2072895,0.01601326 8.7185884,-4.0017078 c -1.7454984,2.3720609 -1.7354408,5.6174519 -6e-7,8.035443 z"
+         transform="matrix(1.1,0,0,1.1,1.1,0)"
+         inkscape:connector-curvature="0" />
+    </marker>
+    <marker
+       inkscape:stockid="Arrow1Lend"
+       orient="auto"
+       refY="0"
+       refX="0"
+       id="Arrow1Lend"
+       style="overflow:visible">
+      <path
+         id="path3848"
+         d="M 0,0 5,-5 -12.5,0 5,5 0,0 z"
+         style="fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:1pt;marker-start:none"
+         transform="matrix(-0.8,0,0,-0.8,-10,0)"
+         inkscape:connector-curvature="0" />
+    </marker>
+    <marker
+       inkscape:stockid="Arrow1Lstart"
+       orient="auto"
+       refY="0"
+       refX="0"
+       id="Arrow1Lstart"
+       style="overflow:visible">
+      <path
+         id="path3845"
+         d="M 0,0 5,-5 -12.5,0 5,5 0,0 z"
+         style="fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:1pt;marker-start:none"
+         transform="matrix(0.8,0,0,0.8,10,0)"
+         inkscape:connector-curvature="0" />
+    </marker>
+    <filter
+       id="filter4539"
+       inkscape:label="Drop Shadow"
+       color-interpolation-filters="sRGB">
+      <feFlood
+         id="feFlood4541"
+         flood-opacity="0.5"
+         flood-color="rgb(0,0,0)"
+         result="flood" />
+      <feComposite
+         id="feComposite4543"
+         in2="SourceGraphic"
+         in="flood"
+         operator="in"
+         result="composite1" />
+      <feGaussianBlur
+         id="feGaussianBlur4545"
+         stdDeviation="5"
+         result="blur" />
+      <feOffset
+         id="feOffset4547"
+         dx="10"
+         dy="10"
+         result="offset" />
+      <feComposite
+         id="feComposite4549"
+         in2="offset"
+         in="SourceGraphic"
+         operator="over"
+         result="composite2" />
+    </filter>
+  </defs>
+  <sodipodi:namedview
+     id="base"
+     pagecolor="#ffffff"
+     bordercolor="#666666"
+     borderopacity="1.0"
+     inkscape:pageopacity="0.0"
+     inkscape:pageshadow="2"
+     inkscape:zoom="0.24748737"
+     inkscape:cx="1431.2106"
+     inkscape:cy="743.84756"
+     inkscape:document-units="px"
+     inkscape:current-layer="layer1"
+     showgrid="false"
+     inkscape:window-width="1600"
+     inkscape:window-height="839"
+     inkscape:window-x="-2"
+     inkscape:window-y="-3"
+     inkscape:window-maximized="1"
+     fit-margin-top="0"
+     fit-margin-left="0"
+     fit-margin-right="0"
+     fit-margin-bottom="0"
+     showguides="true"
+     inkscape:guide-bbox="true" />
+  <metadata
+     id="metadata7">
+    <rdf:RDF>
+      <cc:Work
+         rdf:about="">
+        <dc:format>image/svg+xml</dc:format>
+        <dc:type
+           rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage" />
+        <dc:title></dc:title>
+      </cc:Work>
+    </rdf:RDF>
+  </metadata>
+  <g
+     inkscape:label="Layer 1"
+     inkscape:groupmode="layer"
+     id="layer1"
+     transform="translate(1043.096,59.235626)">
+    <g
+       id="g4404"
+       style="filter:url(#filter4539)"
+       transform="translate(-258.59905,60.609152)">
+      <path
+         sodipodi:nodetypes="cc"
+         inkscape:connector-curvature="0"
+         id="path3070"
+         d="m 19.196429,-92.956288 0,500.139898"
+         style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:3.20000005;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;marker-start:url(#Arrow1Lstart);marker-end:none" />
+      <path
+         inkscape:connector-curvature="0"
+         id="path3072"
+         d="M 19.614433,798.97173 567.29485,242.85648"
+         style="opacity:0.57528962;fill:none;stroke:#000000;stroke-width:4.43599987;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;marker-start:none;marker-mid:none;marker-end:url(#Arrow1Lend)" />
+      <path
+         sodipodi:open="true"
+         transform="matrix(2.4054383,0,0,3.9441554,-596.09873,-352.57555)"
+         sodipodi:end="5.4977871"
+         sodipodi:start="4.712389"
+         d="m 255.56859,169.48885 c 51.17064,0 100.24546,13.72901 136.42856,38.16681"
+         sodipodi:ry="130.30968"
+         sodipodi:rx="192.93913"
+         sodipodi:cy="299.79852"
+         sodipodi:cx="255.56859"
+         id="path5206-4"
+         style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:0.15736836;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none"
+         sodipodi:type="arc" />
+      <g
+         transform="translate(135.05076,112.36693)"
+         id="g5999">
+        <text
+           xml:space="preserve"
+           style="font-size:40px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:TeXGyreTermes;-inkscape-font-specification:TeXGyreTermes"
+           x="94.882553"
+           y="251.56142"
+           id="text5972"
+           sodipodi:linespacing="125%"><tspan
+             sodipodi:role="line"
+             id="tspan5974"
+             x="94.882553"
+             y="251.56142" /></text>
+        <text
+           xml:space="preserve"
+           style="font-size:24px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:Sans;-inkscape-font-specification:Sans"
+           x="134.14545"
+           y="231.48091"
+           id="text5976"
+           sodipodi:linespacing="125%"><tspan
+             sodipodi:role="line"
+             id="tspan5978"
+             x="134.14545"
+             y="231.48091" /></text>
+        <text
+           sodipodi:linespacing="125%"
+           id="text3009"
+           y="215.22566"
+           x="44.164661"
+           style="font-size:144px;font-style:normal;font-weight:normal;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:Sans"
+           xml:space="preserve"><tspan
+             y="215.22566"
+             x="44.164661"
+             id="tspan3021"
+             sodipodi:role="line">α</tspan></text>
+      </g>
+      <path
+         style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:3.20000005;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;marker-start:none;marker-end:url(#Arrow1Lend)"
+         d="m 19.182198,799.26076 0,-392.05358 2258.195502,0"
+         id="path6011"
+         inkscape:connector-curvature="0"
+         sodipodi:nodetypes="ccc" />
+      <g
+         style="stroke-width:5.5;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none"
+         id="g3011">
+        <path
+           sodipodi:type="arc"
+           style="fill:none;stroke:#0000b0;stroke-width:1.12210214;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none"
+           id="path5206"
+           sodipodi:cx="255.56859"
+           sodipodi:cy="299.79852"
+           sodipodi:rx="192.93913"
+           sodipodi:ry="130.30968"
+           d="m 255.56859,169.48885 c 51.17064,0 100.24546,13.72901 136.42856,38.16681"
+           sodipodi:start="4.712389"
+           sodipodi:end="5.4977871"
+           transform="matrix(4.026505,0,0,5.966674,-1010.4975,-996.38735)"
+           sodipodi:open="true" />
+        <path
+           style="fill:none;stroke:#009400;stroke-width:5.5;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none"
+           d="M 567.57081,242.42269 732.16254,407.18804"
+           id="path5208"
+           inkscape:connector-curvature="0" />
+      </g>
+      <text
+         sodipodi:linespacing="125%"
+         id="text6199"
+         y="404.14792"
+         x="21.785713"
+         style="font-size:40px;font-style:normal;font-weight:normal;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:Sans"
+         xml:space="preserve"><tspan
+           y="404.14792"
+           x="21.785713"
+           id="tspan6201"
+           sodipodi:role="line">0</tspan></text>
+      <text
+         sodipodi:linespacing="125%"
+         id="text6203"
+         y="-9.2719898"
+         x="35.035889"
+         style="font-size:40px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:TeXGyreTermes;-inkscape-font-specification:TeXGyreTermes"
+         xml:space="preserve"><tspan
+           y="-9.2719898"
+           x="35.035889"
+           id="tspan6205"
+           sodipodi:role="line">Y</tspan></text>
+      <text
+         sodipodi:linespacing="125%"
+         id="text6207"
+         y="442.74725"
+         x="2183.5132"
+         style="font-size:40px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:TeXGyreTermes;-inkscape-font-specification:TeXGyreTermes"
+         xml:space="preserve"><tspan
+           y="442.74725"
+           x="2183.5132"
+           id="tspan6209"
+           sodipodi:role="line">X</tspan></text>
+      <text
+         sodipodi:linespacing="125%"
+         id="text6230"
+         y="111.6479"
+         x="427.14285"
+         style="font-size:144px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:TeXGyreTermes;-inkscape-font-specification:TeXGyreTermes"
+         xml:space="preserve"><tspan
+           y="111.6479"
+           x="427.14285"
+           id="tspan6232"
+           sodipodi:role="line">a</tspan></text>
+      <text
+         sodipodi:linespacing="125%"
+         id="text6234"
+         y="330.21933"
+         x="662.14288"
+         style="font-size:144px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:TeXGyreTermes;-inkscape-font-specification:TeXGyreTermes"
+         xml:space="preserve"><tspan
+           y="330.21933"
+           x="662.14288"
+           id="tspan6236"
+           sodipodi:role="line">b</tspan></text>
+      <g
+         style="opacity:0.7"
+         transform="matrix(-1,0,0,-1,1464.2983,814.32114)"
+         id="g3015">
+        <path
+           sodipodi:open="true"
+           transform="matrix(4.026505,0,0,5.966674,-1010.4975,-996.38735)"
+           sodipodi:end="5.4977871"
+           sodipodi:start="4.712389"
+           d="m 255.56859,169.48885 c 51.17064,0 100.24546,13.72901 136.42856,38.16681"
+           sodipodi:ry="130.30968"
+           sodipodi:rx="192.93913"
+           sodipodi:cy="299.79852"
+           sodipodi:cx="255.56859"
+           id="path3017"
+           style="fill:none;stroke:#0000b0;stroke-width:0.48372805;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none"
+           sodipodi:type="arc" />
+        <path
+           inkscape:connector-curvature="0"
+           id="path3019"
+           d="M 567.57081,242.42269 732.16254,407.18804"
+           style="fill:none;stroke:#009400;stroke-width:3.29999995;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none" />
+      </g>
+      <g
+         style="opacity:0.7"
+         id="g3993"
+         transform="matrix(1,0,0,-1,1427.1089,814.32114)">
+        <path
+           sodipodi:type="arc"
+           style="fill:none;stroke:#0000b0;stroke-width:0.48372805;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none"
+           id="path3995"
+           sodipodi:cx="255.56859"
+           sodipodi:cy="299.79852"
+           sodipodi:rx="192.93913"
+           sodipodi:ry="130.30968"
+           d="m 255.56859,169.48885 c 51.17064,0 100.24546,13.72901 136.42856,38.16681"
+           sodipodi:start="4.712389"
+           sodipodi:end="5.4977871"
+           transform="matrix(4.026505,0,0,5.966674,-1010.4975,-996.38735)"
+           sodipodi:open="true" />
+        <path
+           style="fill:none;stroke:#009400;stroke-width:3.29999995;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none"
+           d="M 567.57081,242.42269 732.16254,407.18804"
+           id="path3997"
+           inkscape:connector-curvature="0" />
+      </g>
+      <path
+         sodipodi:nodetypes="cc"
+         style="opacity:0.57528962;fill:none;stroke:#000000;stroke-width:4.43599987;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;marker-start:url(#Arrow1Lstart);marker-mid:none;marker-end:url(#Arrow1Lend)"
+         d="M 1445.7393,791.29316 1444.134,415.17791"
+         id="path3999"
+         inkscape:connector-curvature="0" />
+      <text
+         xml:space="preserve"
+         style="font-size:144px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;font-stretch:normal;text-align:start;line-height:125%;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;writing-mode:lr-tb;text-anchor:start;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;font-family:TeXGyreTermes;-inkscape-font-specification:TeXGyreTermes"
+         x="1362.1428"
+         y="638.79077"
+         id="text4373"
+         sodipodi:linespacing="125%"><tspan
+           sodipodi:role="line"
+           id="tspan4375"
+           x="1362.1428"
+           y="638.79077">c</tspan></text>
+      <g
+         style="opacity:0.7"
+         transform="matrix(-1,0,0,1,38.142036,-0.02232139)"
+         id="g4377">
+        <path
+           sodipodi:open="true"
+           transform="matrix(4.026505,0,0,5.966674,-1010.4975,-996.38735)"
+           sodipodi:end="5.4977871"
+           sodipodi:start="4.712389"
+           d="m 255.56859,169.48885 c 51.17064,0 100.24546,13.72901 136.42856,38.16681"
+           sodipodi:ry="130.30968"
+           sodipodi:rx="192.93913"
+           sodipodi:cy="299.79852"
+           sodipodi:cx="255.56859"
+           id="path4379"
+           style="fill:none;stroke:#0000b0;stroke-width:0.48372805;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none"
+           sodipodi:type="arc" />
+        <path
+           inkscape:connector-curvature="0"
+           id="path4381"
+           d="M 567.57081,242.42269 732.16254,407.18804"
+           style="fill:none;stroke:#009400;stroke-width:3.29999995;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none" />
+      </g>
+      <path
+         inkscape:connector-curvature="0"
+         id="path4383"
+         d="m -739.48928,407.18848 757.142852,0"
+         style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:3.20000005;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none" />
+    </g>
+  </g>
+</svg>