\chapter{Математическая модель слоя тканого композиционного материала с
искривленными волокнами и внутренними технологическими дефектами}

В главе\inthirdtext

\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоят тканого
композита с поликристаллической матрицей при наличии контакта с трением между
волокнами}

\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита с контактом между
волокнами}

В процессе изготовления тканого композиционного материала с поликристаллической
матрицей не всегда удается исключить соприкосновение нитей основы и утка,
вследствие чего в конструкции могут возникать такие локальные дефекты как
разрывы нитей основы, разрывы нитей основы и утка, а также внутренние
технологические поры. Поэтому необходимо построение моделей, где волокна основы
и утка не всегда окружены гарантированной прослойкой поликристаллической
матрицы. 

Геометрические параметры модели аналогичны указанным в
разделе~\ref{c1:geometry}, за исключением того что расстояние между волокнами в
точках максимальных кривизн равно нулю (рис.~\ref{fig:c3:fibers}), а в матрице,
вблизи максимальных кривизн волокон всегда присутствуют внутренние
технологические поры из-за невозможности заполнить это пространство материалом
матрицы (рис.~\ref{fig:c3:matrix}).

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/regular_slice}
 \caption{Фрагмент слоя ткани с контактом между волокнами}
 \label{fig:c3:fibers}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v2/matrix}
 \caption{Фрагмент поликристаллической матрицы слоя тканого композита с
внутренними технологическими порами}
 \label{fig:c3:matrix}
\end{figure}

В качестве дефектов, вызывающих концентрации напряжений будем рассматривать
типичные дефекты, возникающие вследствие очень плотного расположения волокон
--- разрыв волокна основы (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~а) и разрывы волокон основы и
утка (рис.~\ref{fig:c3:d2d4}~а). Кроме того рассмотрим случаи когда пора в
матрице, образованная дефектом заполняется материалом матрицы в ходе
дополнительных технологических операций (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~б и
\ref{fig:c3:d2d4}~б).

\begin{figure}
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/d1d3}
 \caption{Разрыв волокна основы в тканом композите с поликристаллической
матрицей при наличии контакта между волокнами~(а) с дополнительной
пропиткой~(б)}
 \label{fig:c3:d1d3}
\end{figure}

\begin{figure}
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/d2d4}
 \caption{Разрыв волокон основы и утка в тканом композите с поликристаллической
матрицей при наличии контакта между волокнами~(а) с дополнительной
пропиткой~(б)}
 \label{fig:c3:d2d4}
\end{figure}


\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости при наличии контакта с
трением}

Краевая задача теории упругости для случая когда в материале возникает контакт
с трением между волокнами основы и утка в местах наибольших кривизн
волокон аналогична краевой задаче \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с
граничными условиями \ref{eq:b_cond}~--~\ref{eq:b_cond_free}, за исключением
того, что соответствующих контактных поверхностях $\Gamma_9$
(рис.~\ref{fig:c3:bc}) необходимо задать дополнительные граничные условия.

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v2/bc}
 \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости при наличии контакта
с трением между волокнами}
 \label{fig:c3:bc}
\end{figure}

Положение и геометрия контактных поверхностей считается заданными и неизменными
в процессе нагружения слоя, кроме того будем считать справедливыми условия
контакта с кулоновским трением, тогда на $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 

\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[
{f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
\label{eq:b_cond_Colomb_1}
\end{equation}

\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]|_{\Gamma_9^{+}} \geq
\left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right]|_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq 
\left[f|\sigma_{nn} {\bf (r)}| \right] |_{\Gamma_9^{-}},\quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}}, 
\label{eq:b_cond_Colomb_2}
\end{equation}

\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
поверхности $\Gamma_9$.

В случае если в слое тканого композита с поликристаллической матрицей не
исключено соприкосновение волокон, вблизи мест с максимальной
кривизной волокон остаются герметичные полости, незаполненные материалом
матрицы. На поверхностях этих пор отсутствуют ограничения на перемещения, а
сама поверхность свободна от напряжений. Граничные условия на этих поверхностях
аналогичны граничным условиям \ref{eq:b_cond_free}.

\subsection{Численное решение краевой задачи упругости}

Для численного решения задачи равнокомпонетного растяжения тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей в плоскости слоя
необходимо задать свойства материала. Модуль Юнга $E_f
= 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0,20$ волокон зададим
в соответствии с данными работы \cite{bib:tarnapolsky}, а упругие модули
поликристаллической матрицы выберем следующими: $E_m = 0,28$~ГПа и
коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$. Так как между волокнами присутствует
контакт с трением, необходимо задать статический коэффициент трения
\cite{bib:code-aster:contact}: $f = 0,12$, который соответствует случаю
скольжения волокна по поверхности поликристаллической матрицы. 

Матрицу будем разбивать 14-узловыми тетраэдральными элементами
(рис.~\ref{fig:c3:mesh:matrix}), а волокно --- 20-узловыми гексаэдральными
элементами (рис.~\ref{fig:c3:mesh:fibers}). Степень дискретизации
конечно-элементной сетки будем выбирать таким образом, чтобы дальнейшее
уменьшение характерных размеров элементов ни качественно ни количественно не
влияло на значения структурных перемещений, деформаций и напряжений в слое
тканого композита. Параметры сеток, удовлетворяющих этим условиям показаны в
таблице~\ref{tab:c3:discr}.

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=17cm]{mesh/v2/matrix}
 \caption{Пример дискретизации матрицы}
 \label{fig:c3:mesh:matrix}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=15cm]{mesh/v2/fibers}
 \caption{Пример дискретизации волокон}
 \label{fig:c3:mesh:fibers}
\end{figure}

\begin{table}[ht]
 \caption{Параметры конечно-элементной сетки}
 \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
    \hline
      & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
    \hline
    \hline
     Идеальная периодическая структура & 405~480 & 77~760 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы & 405~480 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы с доуплотнением & 355~341 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка & 405~480 & 72~576 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 390~862 & 72~576 \\
    \hline
 \end{tabular}
 \label{tab:c3:discr}
\end{table}

Решив задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Koshi} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond}~--~\ref{eq:b_cond_Colomb_2} методом конечных элементов получим
поля интенсивностей напряжений в искривленных нитях основы и утка слоя
модельного тканого композита идеальной периодической структуры, показанных
на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s1}. Как видим, распределение искомых полей в
рассматриваемом случае удовлетворяет условиям симметрии и периодичности
геометрической модели и приложенной внешней нагрузке. Это свидетельствует о
корректно построенной модели и корректности полученного численного решения.
Кроме того, обращает на себя внимание концентрация напряжений в местах, где
искривленные нити основы и утка имеют наибольшую кривизну.

В табл. \ref{tab:c3:max_k_s1} представлены максимальные безразмерные
коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) /
\sigma_{ij}^{per}({\bf r})$, определяемые отношением компонент тензора
напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической
структуры. Обратим внимание на то, что наибольший вклад в коэффициенты
концентрации вносят касательные составляющие тензора напряжений $\sigma_{13}$.
Напряжения для этих компонент, в 10--48 раз превышают соответствующие значения
для модельного материала с идеальной периодической структурой.

\begin{figure}[t!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{vmis_v2_s1}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в нитях основы и утка при
равнокомпонентном двухосном растяжении}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s1}
\end{figure}

\begin{table}[t!]
 \centering
 \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя
тканого композита при двухосном равнокомпонентном растяжении в плоскости слоя}
  \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}38$ & $3{,}90$ & $1{,}71$ & $1{,}07$ & $1{,}62$ & $1{,}07$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}17$ & $3{,}18$ & $2{,}29$ & $0{,}91$ & $1{,}65$ & $1{,}38$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}32$ & $4{,}16$ & $1{,}85$ & $1{,}16$ & $1{,}64$ & $2{,}27$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}47$ & $2{,}48$ & $1{,}80$ & $0{,}97$ & $1{,}47$ & $1{,}34$ \\
    \hline
  \end{tabular}
\label{tab:c3:max_k_s1}
\end{table}

На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s1} представлены
распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений для
слоя модельного тканого композита с разрывом волокна основы и разрывом волокон
основы и утка. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
области, расположенные вблизи локального разрыва утка или одновременного
разрыва основы и утка, где интенсивность напряжений превышает соответствующее
значение, определенное для композита идеальной периодической структуры в $2{,}1$
раза. Стоит заметить, что заполнение поры, образовавшейся вследствие дефекта,
материалом поликристаллической матрицы путем дополнительной пропитки или
осаждения матрицы из газовой фазы приводит к увеличению коэффициентов
концентрации интенсивностей напряжений до $2{,}8$, при разрыве волокна основы
(рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1}~б) и $3{,}1$ при разрыве волокон основы и утка
одновременно (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s1}~б).

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:c3:k_d1d3_s1}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:c3:k_d2d4_s1}
\end{figure}

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
соприкасающимися волокнами при чистом сдвиге}

Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal}~--~\ref{eq:b_cond:s2},
соответствующими чистому сдвигу, дополненными граничными условиями
\ref{eq:b_cond_Colomb_1} и \ref{eq:b_cond_Colomb_2}, задающими трения между
волокнами основы и утка тканого композита с поликристаллической матрицей.

Поля интенсивностей напряжений, полученные в результате решения такой задачи,
показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s2}, строго периодичны, что говорит о
корректности полученного решения.

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v2_s2}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при чистом формоизменении и наличии контакта между
волокнами основы и утка}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s2}
\end{figure}

Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены в
таблице~\ref{tab:c3:max_k_s2}. Как видно из таблицы, наибольший вклад в
коэффициенты концентрации напряжений вносят касательная составляющая
$\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора напряжений.
Значения этих составляющих в материале с дефектом в $10$~--~$29$ раз превышают
соответствующие значения в материале с идеальной периодической структуре.

\begin{table}[t!]
 \centering
 \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя
тканого композита при чистом формоизменении}
  \begin{tabular}{|p{7cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}39$ & $1{,}86$ & $2{,}72$ & $1{,}31$ & $1{,}13$ & $1{,}32$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}30$ & $3{,}14$ & $5{,}41$ & $0{,}99$ & $0{,}88$ & $1{,}87$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}42$ & $2{,}00$ & $1{,}05$ & $1{,}41$ & $1{,}05$ & $1{,}76$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}24$ & $4{,}68$ & $1{,}39$ & $1{,}07$ & $0{,}96$ & $2{,}08$ \\
    \hline
  \end{tabular}
\label{tab:c3:max_k_s2}
\end{table}

На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s2} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s2} представлены
распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванных
наличием дефекта в виде разрыва волокна основы и разрыва волокон основы и утка в
слое тканого композита с поликристаллической матрицей при чистом сдвиге. 

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme2/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:c3:k_d1d3_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme2/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:c3:k_d2d4_s2}
\end{figure}

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений строго
периодично и достигает максимальных значений в местах, расположенных вблизи
локальных дефектов. При разрыве волокна основы максимальное значение
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений равно $2{,}3$
(рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s2}~а), а при одновременном разрыве волокон основы и
утка --- $3{,}0$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). При этом, заполнение поры,
образовавшейся в результате одновременного разрыва волокон основы и утка,
материалом поликристаллической матрицы путем дополнительной пропитки или
осаждения матрицы из газовой фазы позволяет снизить коэффициенты концентрации
интенсивностей напряжений до $2{,}6$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). 

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
соприкасающимися волокнами при одноосном растяжении}

Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal}, \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3},
соответствующими одноосному растяжению в направлении утка, дополненными
граничными условиями \ref{eq:b_cond_Colomb_1} и \ref{eq:b_cond_Colomb_2},
задающими трения между волокнами основы и утка тканого композита с
поликристаллической матрицей.

Поля интенсивностей напряжений, полученные в результате решения такой задачи,
показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s3}, строго периодичны, что говорит о
корректности полученного решения.

В таблице \ref{tab:c3:max_k_s3} показаны максимальные безразмерные коэффициенты
концентрации напряжений, вызванные наличием разрыва волокна основы и разрывов
волокон основы и утка в слое тканого композита с поликристаллической матрицей
при одноосном растяжении. Максимальный вклад в коэффициенты концентраций вносит
касательная составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, значения которой в
материале с локальным дефектом превышают соответствующие значения в материале с
идеальной периодической структурой в $11$~--~$16$ раз.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v2_s3}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при чистом сдвиге и наличии контакта между волокнами
основы и утка}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s3}
\end{figure}

\begin{table}[t!]
 \centering
 \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя
тканого композита при одноосном растяжении}
  \begin{tabular}{|p{7cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}30$ & $3{,}05$ & $1{,}37$ & $1{,}21$ & $1{,}43$ & $1{,}58$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}07$ & $3{,}04$ & $1{,}08$ & $1{,}02$ & $1{,}12$ & $1{,}14$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}42$ & $4{,}94$ & $1{,}05$ & $1{,}47$ & $1{,}49$ & $1{,}45$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}27$ & $2{,}71$ & $1{,}31$ & $1{,}32$ & $1{,}41$ & $1{,}71$ \\
    \hline
  \end{tabular}
\label{tab:c3:max_k_s3}
\end{table}

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванные
наличием разрыва волокна основы и разрывов волокон основы и утка, показаны на
рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s3} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s3}. 

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme3/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:c3:k_d1d3_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme3/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:c3:k_d2d4_s3}
\end{figure}

Максимальных значений коэффициенты концентрации достигают в местах наибольшей
кривизны волокон. Для материала с локальным разрывом волокна основы значения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений достигают $2{,}3$, а при
одновременном разрыве волокон основы и утка --- $2{,}5$, причем заполнение
поры, образовавшейся вследствие наличия локального дефекта, материалом
поликристаллической матрицы, путем дополнительной пропитки конструкции или
осаждения матрицы из газовой фазы, приводит к увеличению коэффициентов
концентрации до $2{,}6$ и $3{,}7$ для случаев разрыва волокна основы и
одновременного разрыва волокон основы и утка соответственно.

\section*{Выводы к третьей главе}
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы к третьей главе}

\begin{enumerate}
 \item Построена твердотельная модель фрагмента слоя тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
разрыв волокна основы и одновременный разрыв волокон основы и утка с учетом
контакта с трением между волокнами.
 \item Получены численные решения краевых задач на двухосное растяжение в
плоскости слоя, чистый сдвиг и одноосное растяжение в направлении утка с учетом
контакта с трением между волокнами.
 \item Вычислены безразмерные коэффициенты концентрации напряжений, вызванные
наличием локальных технологических дефектов в виде разрыва волокна основы и
одновременного разрыва волокон основы и утка.
 \item Определены механизмы, инициирующие разрушение матрицы в слое тканого
композита с искривленными волокнами и наличием контакта с трением между
волокнами.
\end{enumerate}