\chapter{Физическая модель слоя тканого КМ}

\section{Краевая задача}

Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
тензора напряжений 
$\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ 
удовлетворяют
уравнениям равновесия

\begin{equation}
 \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:kov:Eqvilibrium}
\end{equation}

\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями
Коши 

\begin{equation}
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
\label{eq:kov:Koshi}
\end{equation}

Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
записаны следующим образом:

\begin{equation}
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
\label{eq:kov:Guck}
\end{equation}

\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.

Краевая задача \eqref{eq:kov:Eqvilibrium}--\eqref{eq:kov:Guck} должна
быть дополнена граничными условиями

\begin{equation}  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf
(r)}|_{\Gamma_1} =
u_3^0, \label{eq:kov:b_cond}
\end{equation}

$$ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
$$

$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
 \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} =
 0,
$$

$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
 \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} =
 0,
$$

\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное
равнокомпонентное деформирование в плоскости слоя и условиями
идеального сопряжения

\begin{equation}
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i {\bf
(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} \label{eq:kov:b_cond_ideal}
\end{equation}

\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:b_cond}).

\begin{figure}[!ht]
 \centering
%  \includegraphics[width=0.53\linewidth]{img/gu}
 \caption{Фрагмент тканого композита с искривленными волокнами}
 \label{fig:b_cond}
\end{figure}

В случае, если в модельном материале не исключается возможность контакта
нитей основы и утка, на соответствующих контактных поверхностях
$\Gamma_9$ (положение и геометрия которых считается заданными и неизменными
в процессе нагружения слоя) будем считать справедливыми условия контакта
с кулоновским трением. На $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 

\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)}
\right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |}
\right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
\label{eq:kov:b_cond_Colomb_1}
\end{equation}

\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]
|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right ]
|_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[
f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right ] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:kov:b_cond_Colomb_2}
\end{equation}

\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
поверхности $\Gamma_9$.

Внутренние поры имеют место в слое композита в случае, если не
исключается соприкосновение волокон. Это герметичные полости, недоступные
для материала матрицы, имеют внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на
которой отсутствуют ограничения на перемещения, а сама поверхность свободна
от напряжений:

\begin{equation}
\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
\label{eq:kov:b_cond_free}
\end{equation}

\section{Выводы ко второй главе}