\chapter{Геометрическая модель тканого композиционного материала с
искривленными волокнами и внутренними технологическими дефектами}

В главе\insecondtext

\section{Разработка твердотельной модели тканого композита с искривленными 
волокнами}

\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
\label{c1:geometry}

Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geom}
 \caption{Геометрия изгиба волокна}
 \label{fig:c2:geometry}
\end{figure}

Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.

С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
 \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
 \label{fig:c2:regular}
\end{figure}

Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
плоскости слоя.

Будем рассматривать случаи, когда между волокнами основы и утка присутствует 
гарантированная просолойка матрицы~(рис.~\ref{fig:c2:fragment_slice}~а) либо 
волокна основы и утка соприкасаются в местах наибольших кривизн, в следствие 
чего возникает наличие площадки контакта между 
волокнами~(рис.~\ref{fig:c2:fragment_slice}~б).

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=0.7\linewidth]{geometry/fragment_slice}
 \caption{Срез фрагмента слоя тканого композита с идеальной периодической 
структурой: а)~волокна окружены гарантированной прослойкой матрицы, б)~наличие 
площадки контакта между волокнами.}
 \label{fig:c2:fragment_slice}
\end{figure}

Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
 \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:fiber_skip}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:one_fiber_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:two_fibers_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
 \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
 \label{fig:c2:pore}
\end{figure}

Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.

\clearpage

\subsection{Постановка краевой задачи для слоя тканого композита}

Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия

\begin{equation}
 \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
\end{equation}

\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 

\begin{equation}
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
\label{eq:Koshi}
\end{equation}

Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
записаны следующим образом:

\begin{equation}
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
\label{eq:Guck}
\end{equation}

\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.

Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
быть дополнена граничными условиями:

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond}
\end{equation}

\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное деформирование в плоскости
слоя и условиями идеального сопряжения

\begin{equation}
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
 \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
 {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
 \label{eq:b_cond_ideal}
\end{equation}

\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=12cm]{geometry/v2/bc}
 \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
 \label{fig:c2:b_cond}
\end{figure}

Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
перемещения, сама поверхность свободна от напряжений:

\begin{equation}
 \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
 \label{eq:b_cond_free}
\end{equation}

а ее точки не имеют ограничений на перемещения. В случае насыщения внутренней
поры соответствующие объемы материала обладают свойствами матрицы.

В процессе изготовления тканого композиционного материала с поликристаллической
матрицей не всегда удается исключить соприкосновение нитей основы и утка,
вследствие чего в конструкции могут возникать такие локальные дефекты как
разрывы нитей основы, разрывы нитей основы и утка, а также внутренние
технологические поры. Поэтому необходимо построение моделей, где волокна основы
и утка не всегда окружены гарантированной прослойкой поликристаллической
матрицы. 

Положение и геометрия контактных поверхностей считается заданными и неизменными
в процессе нагружения слоя, кроме того будем считать справедливыми условия
контакта с кулоновским трением, тогда на $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 

\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[
{f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
\label{eq:b_cond_Colomb_1}
\end{equation}

\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]|_{\Gamma_9^{+}} \geq
\left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right]|_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq 
\left[f|\sigma_{nn} {\bf (r)}| \right] |_{\Gamma_9^{-}},\quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}}, 
\label{eq:b_cond_Colomb_2}
\end{equation}

\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
поверхности $\Gamma_9$.

В случае если в слое тканого композита с поликристаллической матрицей не
исключено соприкосновение волокон, вблизи мест с максимальной
кривизной волокон остаются герметичные полости, незаполненные материалом
матрицы. На поверхностях этих пор отсутствуют ограничения на перемещения, а
сама поверхность свободна от напряжений. Граничные условия на этих поверхностях
аналогичны граничным условиям \ref{eq:b_cond_free}.

\section{Тестирование твердотельной модели тканого композита}

\subsection{Численное решение краевой задачи упругости методом конечных 
элементов}

Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
\eqref{eq:b_cond} -- \eqref{eq:b_cond_free}  решается численно методом конечных
элементов, который является одним из наиболее эффективных методов решения задач
механики деформируемого твердого тела и расчета конструкций из тканых
композитов.

Решать задачу будем с помощью некоммерческого пакета Code-Aster, входящего в
состав платформы SALOME-MECA. Этот пакет был разработан и сертифицирован
специально для французской энергетической отрасли и предназначен для задач
механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма,
выполнения расчетов для строительных конструкций и сооружений
\cite{bib:code-aster:common, bib:code-aster:presentation}.

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=8cm]{elements}
 \caption{Пример конечных элементов: а) тетраэдральный, б) гексаэдральный}
 \label{fig:elements}
\end{figure}

Дискретизация матрицы проводилась на 14-узловые тетраэдральные элементы
(рис.~\ref{fig:elements}~а), волокно разбивалось на 20-узловые гексаэдральные
элементы (рис.~\ref{fig:elements}~б).

На рис.~\ref{fig:mesh:matrix} представлена конечно-элементная сетка фрагмента
матрицы слоя модельного тканого композита полотняного переплетения.
Конечно-элементная сетка волокон представлена на рис.~\ref{fig:mesh:fibers}.

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=15cm]{mesh/v2/matrix}
 \caption{Пример дискретизации матрицы}
 \label{fig:mesh:matrix}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/fibers}
 \caption{Пример дискретизации волокон}
 \label{fig:mesh:fibers}
\end{figure}

Для сопряжения конечно-элементных сеток армирующего каркаса и матрицы на этапе
дискретизации выделялись <<главная>> и <<подчиненная>> поверхности. На этапе
расчета узловые точки <<подчиненной>> поверхности (например, принадлежащие
матрице) проецировались на те ближайшие конечные элементы, грани которых
расположены на <<главной>> поверхности, и считались принадлежащими этим
элементам. Перемещения точек <<подчиненной>> поверхности заменялись перемещениями
их проекций на элемент <<главной>> поверхности \cite{bib:code-aster:contact}.

Модуль Юнга $E_f = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0{,}20$
волокон соответствовали данным работы \cite{bib:tarnapolsky}.
Упругие модули поликристаллической матрицы были выбраны следующими: $E_m
= 0{,}28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$. В случае когда между волокнами 
присутствует контакт с трением, необходимо задать статический коэффициент трения
\cite{bib:code-aster:contact}: $f = 0,12$, который соответствует случаю
скольжения волокна по поверхности поликристаллической матрицы. 

Пакет Code-Aster позволяет решать задачу, используя несколько вычислительных 
потоков одновременно. Зависимость времени решения задачи от количества 
вычислительных потоков относительно времени решения задачи с 
использованием одного потока показано в таблице~\ref{tab:c2:multiprocessing}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Зависимость времени рассчетов от числа вычислительных процессов}
  \begin{tabular}{|p{10cm}||
                   >{\centering\arraybackslash}p{3cm}|
                   >{\centering\arraybackslash}p{3cm}| }
    \hline
    Модель & 2 процесса & 4 процесса \\
    \hline
    \hline
    Идеальная периодическая структура  & 0.95 & 0.91 \\
    \hline
    Туннельная пора  & 0.98 & 0.96 \\
    \hline
    Туннельная пора, доуплотненная материалом связующего & 0.97 & 0.94 \\
    \hline
   \end{tabular}
  \label{tab:c2:multiprocessing}
\end{table}

Как видно из таблицы, увеличение количества вычислительных процессов для 
данной задачи не приводит к существенному снижению времени вычислений. Это 
связано с тем, что большая часть времени приходится на операции ввода-вывода и 
зависит от скорости жестких дисков и количества оперативной памяти рабочей 
станции, на которой производится расчет.

\subsection{Условия сходимости краевой задачи для слоя тканого композита с 
искривленными волокнами}

Для проверки корректности построения математической модели решалась задача по
определению напряженно-деформированного состояния при двухосном
равнокомпонентном деформировании слоя тканого композита с искривленными
волокнами для сеток с разным количеством конечных элементов и проводилось
сравнение значений интенсивностей напряжений $\sigma_I$ в точке, находящейся 
в геометрическом центре слоя тканого композита с бездефектной идеальной
периодической структурой. Такие же задачи решались для модели слоя тканого
композита с дефектом в виде туннельной поры, для случаев когда полость,
возникающая в следствие дефекта доуплотняется материалом связующего или
остается незаполненной. 

Зависимость интенсивностей напряжений в точке, находящейся в центре слоя
тканного композита от количества конечных элементов показана в таблице
\ref{tab:convergence}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Зависимость интенсивностей напряжений от количества конечных
элементов}

  \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
    \hline
    \multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Идеальная периодическая структура}& 
    \multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Туннельная пора}&
    \multicolumn{2}{|p{5cm}|}{Туннельная пора, доуплотненная материалом
связующего} \\
    \hline
    $C$ & $\sigma_{I}$  & $C$ & $\sigma_{I}$ & $C$ & $\sigma_{I}$ \\
    \hline
    \hline
    218 207 & 33.6 & 213 381 & 38.0 & 194 196 & 37.9 \\
    \hline
    271 644 & 32.0 & 261 695 & 36.2 & 241 932 & 36.0 \\
    \hline
    365 283 & 31.1 & 345 396 & 35.2 & 326 327 & 35.2 \\
    \hline
    427 855 & 31.2 & 402 304 & 35.4 & 382 954 & 35.3  \\
    \hline
   \end{tabular}
 \label{tab:convergence}
\end{table}

Из таблицы видно, что расхождение между интенсивностями напряжений в двух
последних вычислительных экспериментах не превышает $1\%$, что может
свидетельствовать о достаточной степени дискретизации модели.

Распределения интенсивностей напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой, полученные в ходе решения задачи показаны на
рис.~\ref{fig:vmis_v1_s1}. 

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s1}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой}
 \label{fig:vmis_v1_s1}
\end{figure}

Из рисунка видно, что распределение искомых полей в рассматриваемом случае
удовлетворяют условиям симметрии и периодичности геометрической модели и
приложенной внешней нагрузке, что говорит о корректно построенной
геометрической модели и корректности полученного численного решения.
Максимальных значений интенсивность напряжений достигает в местах наибольшей
кривизны волокон.

Параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям неизменности
качественных и количественных характеристик для моделей с различными видами
дефектов, а также для модели с идеальной периодической структурой представлены
в таблице~\ref{tab:discr}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Параметры конечно-элементной сетки при наличии гарантированной прослойки матрицы между
 волокнами основы и утка}
   \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
    \hline
      & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
    \hline
    \hline
     Идеальная периодическая структура & 298~255 & 77~760 \\
    \hline
     Тунельная пора & 285~664 & 69~984 \\
    \hline
     Туннельная пора с доуплотнением & 266~314 & 69~984 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы & 285~466 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы с доуплотнением & 296~499 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка & 279~276 & 72~576 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 276~175 & 72~576 \\
    \hline
     Внутренняя технологическая пора & 287~934 & 77~760 \\
    \hline
  \end{tabular}
 \label{tab:discr}
\end{table}

При наличии между волокнами основы и утка площадки контакта с трением необходимо дополнительное 
сгущение сетки матрицы в местах, находящихся вблизи участков наибольшей кривизны волокон. Параметры
конечно-элементной сетки для такого случая представлены в таблице 
\ref{tab:discr:contact}.

\begin{table}[ht]
 \caption{Параметры конечно-элементной сетки при наличии контакта с трением между волокнами основы и утка}
 \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
    \hline
      & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
    \hline
    \hline
     Идеальная периодическая структура & 405~480 & 77~760 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы & 405~480 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы с доуплотнением & 355~341 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка & 405~480 & 72~576 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 390~862 & 72~576 \\
    \hline
 \end{tabular}
 \label{tab:discr:contact}
\end{table}

\section{Разработка модуля расширений платформы моделирования для расчета коэффициентов
концентрации напряжений}

\subsection{Объектная модель модуля расширений платформы для рассчета коэффициентов концентрации 
напряжений в слое тканого композита с искривленными волокнами}
\label{c2:classDiagramm}

Безразмерные коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) /
\sigma_{ij}^{per}({\bf r})$ вычислялись как отношение компонент тензора
напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической структуры.

Для расчета коэффициентов концентрации в каждой точке конечно-элементой сетки
был написан модуль расширения платформы SALOME-MECA. В качестве языка для написания 
модуля расширений был выбран объектно-ориентированный язык программирования Python 2.7,
который предоставляет структуры данных высокого уровня, имеет изящный синтаксис и 
использует динамический контроль типов, что делает его идеальным языком для быстрого 
написания различных приложений, работающих на большинстве распространенных платформ 
\cite{bib:rossum}. 

Диаграмма классов модуля расширения платформы SALOME-MECA для рассчета коэффициентов
концентрации напряжений показана на рис.~\ref{fig:c2:classDiagramm}.

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=\linewidth]{classDiagramm}
 \caption{Диаграмма классов модуля расширений для вычисления коэффициентов концентрации напряжений}
 \label{fig:c2:classDiagramm}
\end{figure}

Модуль расширения реализуется одним основным и тремя вспомогательными классами:

\begin{itemize}
 \item \verb TKCalculator  --- основной класс для вычисления коэффициентов 
концентрации напряжений в
 каждой точке конечно-элементной сетки;
 \item \verb TPoint  --- вспомогательный класс для описания точки в трехмерном 
пространстве;
 \item \verb TKValues  --- вспомогательный класс для описания множества 
значений коэффициентов концентрации 
 напряжений в каждой точке конечно-элементной сетки;
 \item \verb TObjective  --- вспомогательный класс для описания параметров 
задачи, при которых необходимо
 найти значения коэффициентов концентрации напряжений.
\end{itemize}

В классе TKCalculator реализован метод для импорта данных из выходных файлов конечно-элементного процессора
Code-Aster, входящего в состав платформы SALOME-MECA (fillFromFile), метод для получения коэффициентов концентрации
напряжений в произвольной точки конечно-элементной сетки по указанным координатам (getKForPoint), а также метод для вывода 
коэффициентов концентрации напряжений для каждой точки конечно-элементной сетки в файл (saveKToFile), для последующего 
анализа или графического отображения.

Для исключения ошибок использования классов используется 4 перечисления:

\begin{itemize}
 \item \verb EProblem  --- вид задачи, может принимать значения: 
 \begin{description}
  \item [СС\_Without\_Contact ]: керамические волокна в 
поликристаллической матрице без учета контакта с трением;
  \item [CC\_With\_Contact ]: керамические волокна в поликристаллической 
матрице при наличии контакта с трением;
  \item [CS\_Without\_Contact ]: стальные волокна в поликристаллической 
матрице без учета контакта с трением;
  \item [CS\_With\_Contact ]: стальные волокна в поликристаллической 
матрице при наличии контакта с трением.
 \end{description}

 \item \verb ESchema  --- схема нагружения, может принимать значения:
 \begin{description}
  \item [X1X3\_Tension]: двухсторонняя равнокомпонентная деформация растяжения в плоскости слоя;
  \item [X1\_Tension]: деформация растяжения в направлении волокон основы;
  \item [X1\_Tension\_X3\_Compression]: чистое формоизменение;
  \item [X1X3\_Compression]: двухсторонняя равнокомпонентная деформация сжатия в плоскости слоя;
  \item [X1\_Compression]: деформация сжатия в направлении волокон основы;
  \item [X1X3\_Unequal\_Compression]: двухсторонняя неравнокомпонентная деформация сжатия в плоскости слоя.
 \end{description}

 \item \verb EDefect  --- дефект, может принимать значения:
 \begin{description}
  \item [Regular]: идеальная периодическая структура;
  \item [Fiber\_Skip]: пропуск волокна основы;
  \item [Fiber\_Skip\_Matrix]: пропуск волокна основы с учетом доуплотнения полости образованной дефектом материалом матрицы;
  \item [One\_Fiber\_Break]: разрыв волокна основы;
  \item [One\_Fiber\_Break\_Matrix]: разрыв волокна основы с учетом доуплотнения полости образованной дефектом материалом матрицы;
  \item [Two\_Fibers\_Break]: разрыв волокон основы и утка;
  \item [Two\_Fibers\_Break\_Matrix]: разрыв волокон основы и утка с учетом доуплотнения полости образованной дефектом материалом матрицы;
  \item [Pore]: внутренняя технологическая пора.
 \end{description}

 \item \verb EPhase  --- фаза, может принимать значения:
 \begin{description}
  \item [Matrix]: фаза матрицы;
  \item [Fibers]: фаза волокон.
 \end{description}
\end{itemize}


\subsection{Схема базы данных для определения коэффициентов концентрации напряжений в 
слое тканого композита с искривленными волокнами}

Для систематизации данных, полученных в результате решения краевых задач, а также для увеличения 
скорости обработки большого объема данных была разработана база данных, инфологическая схема 
которой представлена на рис.~\ref{fig:c2:er}.

\immediate\write18{dot -Tpng -o fig/er.png er.dot}
\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=0.8\linewidth]{er}
 \caption{ER-диаграмма базы данных для вычисления коэффициентов концентрации напряжений}
 \label{fig:c2:er}
\end{figure}

В базе данных использовались две стержневые сущности (<<Cвойства>> и 
<<Точки>>), а также ассоциация между ними. Стержневая сущность <<Точки>> с 
составным ключом {\bf X$_1$, X$_2$, X$_3$} предназначена для хранения координат 
точек конечно-элементной сетки. Стержневая сущность <<Свойства>> с составным 
ключом {\bf Задача, Схема нагружения, Дефект, Фаза} предназначена для хранения 
информации о компонентах тензора напряжений и интесивности напряжений для каждой 
точки конечно-элементной сетки. Значения атрибутов составного ключа сущности 
<<Свойства>> соответсвуют значениям классов-перечислений 
\verb EProblem , \verb ESchema , \verb EDefect  и \verb EPhase , описаных в 
разделе~\ref{c2:classDiagramm}.

Даталогическая модель базы данных для вычисления коэффициентов концентрации 
напряжений представлена на рис.~\ref{fig:c2:datalogical}.

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=0.5\linewidth]{datalogical}
 \caption{Даталогическая модель базы данных для вычисления коэффициентов 
концентрации напряжений}
 \label{fig:c2:datalogical}
\end{figure}

Соответствия свойств во всех точках конечно-элементой сетки модели с идеальной 
периодической структурой соответствующим точкам конечно-элементной сетки модели 
с внутренним технологическим дефектом могут быть найдены с помощью реляционного 
выражения~\ref{eq:c2:relP}:

\begin{equation}
  \begin{array}{rl}
  P = & (\sigma_{defectId = 0}(Properties~P_1) \\
      & [P_1.pointId = P_2.pointId] \\
      & \sigma_{defectId \neq 0}(Properties~P_2)) \\
      & [P1.pointId = Points.pointId]Points.
  \end{array}
 \label{eq:c2:relP}
\end{equation}

Проецируя отношение $P$ на соответствующие атрибуты, найдем значения 
коэффициентов концентрации напряжений для каждой точки конечно-элементной сетки 
(\ref{eq:c2:relK}):

\begin{equation}
  \begin{array}{rl}
    K = & P[X1, X2, X3, \\
        & P_2.sigma\_11/P_1.sigma\_11, P_2.sigma\_22/P_1.sigma\_22, \\
        & P_2.sigma\_33/P_1.sigma\_33, P_2.sigma\_12/P_1.sigma\_12, \\
        & P_2.sigma\_13/P_1.sigma\_13, P_2.sigma\_23/P_1.sigma\_13, \\
        & P_2.sigma\_I/P_1.sigma\_I].
  \end{array}
 \label{eq:c2:relK}
\end{equation}

С помощью ограничения отношения $K$ по атрибутам \verb problemId , \\
\verb schemaId , \verb defectId  и \verb phaseId  можно получить значения 
коэффициентов концентрации в каждой точке конечно-элементной сетки для 
необходимого вида задачи, схемы нагружения, типа дефекта или фазы материала. При 
ограничении отношения $K$ по атрибутам \verb X1 , \verb X2  и \verb X3  получим 
значения коэффициентов концентрации в необходимой точке конечно-элементной 
сетки.

В качестве системы управления базой данных для реализации физической модели 
была выбрана встраиваемая СУБД SQLite 2.8.17. Выбор данной СУБД был обусловлен 
простотой использования, отсутсвием необходимости установки и настройки сервера 
СУБД, высокой скоростью выполнения запросов, а также доступностью для 
большинства операционных систем.

\section*{Выводы ко второй главе}
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы ко второй главе}

\begin{enumerate}
 \item Построена геометрическая модель фрагмента слоя тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, разрыв волокон основы и утка и
внутренняя технологическая пора.
 \item На основе численного решения задачи двухосного равнокомпонентного
растяжения в плоскости слоя тканого композита проведено тестирование полученной
модели.
 \item Приведены параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям
условиям сходимости задачи.
 \item Приведены диаграмма классов и инфологическая модель разработанной базы 
данных для расчета коэффициентов концентрации в слое тканого композита, 
вызванных наличием локальных технологических дефектов.
\end{enumerate}
