\chapter{Локальные поля напряжений и деформаций в представительных объемах
тканого композита с поликристаллической матрицей}

\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения тканого композита с
поликристаллической матрицей}

\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}

Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geom}
 \caption{Геометрия изгиба волокна}
 \label{fig:c2:geometry}
\end{figure}

Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.

С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
вычитания из твердотельного прямоугольного параллилепипеда фрагмента ткани,
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.

\begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
 \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
 \label{fig:c2:regular}
\end{figure}

Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
плоскости слоя.

Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).

\begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
 \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:fiber_skip}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:one_fiber_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:two_fibers_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
 \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
 \label{fig:c2:pore}
\end{figure}

Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.

\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}

Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия

\begin{equation}
 \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
\end{equation}

\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 

\begin{equation}
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
\label{eq:Koshi}
\end{equation}

Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
записаны следующим образом:

\begin{equation}
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
\label{eq:Guck}
\end{equation}

\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.

Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
быть дополнена граничными условиями

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond}
\end{equation}

\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения

\begin{equation}
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
 \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
 {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
 \label{eq:b_cond_ideal}
\end{equation}

\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
 \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
 \label{fig:c2:b_cond}
\end{figure}

Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполенные матрицей имеют
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
перемещения, а сама поверхность свободна от напряжений:

\begin{equation}
 \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
 \label{eq:b_cond_free}
\end{equation}

Заменяя граничные условия \ref{eq:b_cond} граничными условиями

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = -u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0,\\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond:s2}
\end{equation}

\noindent получим задачу на чистый сдвиг, а при замене граничными условиями

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = 0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond:s3}
\end{equation}

\noindent получим задачу на одноосное растяжение слоя тканого композита в
направлении, соответсвующем направлению утка.

\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
и квазипериодическим расположением волокон}

\section{Выводы ко второй главе}