\chapter{Математическая модель слоя тканого композиционного материала с
искривленными волокнами и внутренними технологическими дефектами}

В главе\inthirdtext

\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
и квазипериодическим расположением волокон}

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений}

Безразмерные коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) /
\sigma_{ij}^{per}({\bf r})$ вычислялись как отношение компонент тензора
напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической структуры.

Для расчета коэффициентов концентрации был написан пакет вспомогательных
программ с использованием языка программирования Python, который является
простым и, в то же время, мощным интерпретируемым объектно-ориентированным
языком программирования. Он предоставляет структуры данных высокого уровня,
имеет изящный синтаксис и использует динамический контроль типов, что делает
его идеальным языком для быстрого написания различных приложений, работающих
на большинстве распространенных платформ \cite{bib:rossum}. Для увеличения
скорости обработки большого объема данных использовалась встраиваемая
система управления базами данных SQLite.

Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены в
таблице~\ref{tab:max_k_s1}:

\begin{table}[ht]
  \centering
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при двухосном равнокомпонентном растяжении в плоскости слоя}
  \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Пропуск волокна основы
     & $1{,}36$ & $1{,}15$ & $1{,}07$ & $1{,}18$ & $1{,}05$ & $1{,}48$ \\
    \hline
     Пропуск волокна основы (доуплотнение) 
     & $1{,}21$ & $1{,}19$ & $0{,}97$ & $0{,}99$ & $1{,}04$ & $1{,}15$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}47$ & $2{,}33$ & $1{,}71$ & $0{,}97$ & $1{,}96$ & $1{,}47$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}29$ & $1{,}13$ & $0{,}94$ & $1{,}16$ & $1{,}27$ & $1{,}24$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}32$ & $1{,}09$ & $0{,}96$ & $0{,}95$ & $2{,}90$ & $1{,}55$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}18$ & $0{,}98$ & $0{,}9$ & $1{,}01$ & $1{,}06$ & $1{,}14$ \\
    \hline
    \hline
     Внутренняя пора
     & $1{,}08$ & $1{,}39$ & $1{,}11$ & $1{,}89$ & $1{,}27$ & $1{,}38$\\
    \hline
  \end{tabular}
  \label{tab:max_k_s1}
\end{table}

Как видно из таблицы, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для всех
типов дефектов кроме внутренней технологической поры вносит касательная
составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, её значение в модели с
дефектом более чем в $2$ раза превышает соответствующее значение в идеальной
периодической модели. В случае внутренней технологической поры значения
коэффициентов концентраций превышают $4$ и соответствуют касательным
составляющим тензора напряжений $\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$.

На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s1}~--~\ref{fig:k_d5_s1} показаны распределения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
материалом матрицы. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
области, расположенные вблизи локальных дефектов, где интенсивности напряжений
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное для композита
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза для случаев разрыва волокна
основы и внутренней технологической поры, в $1{,}4$ раза для случая пропуска
волокна основы и в $1{,}5$ раз для одновременного разрыва волокон основы и
утка. При этом, в случае пропуска волокна основы или разрыва волокон основы и
утка, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
снижено до $1{,}3$ с помощью дополнительных операций доуплотнения
поликристаллической матрицы.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d1d2_s1}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d3d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d3d6_s1}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d5d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d4d7_s1}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme1/d5}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой}
 \label{fig:k_d5_s1}
\end{figure}

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при чистом сдвиге}

Если в краевой задаче \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} заменить
граничные условия \ref{eq:b_cond} граничными условиями

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = -u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0,\\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond:s2}
\end{equation}

\noindent получим задачу на чистый сдвиг, решив которую получим распределение
интенсивностей напряжений, показанных на рис.~\ref{fig:vmis_v1_s2}.

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s2}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при чистом формоизменении}
 \label{fig:vmis_v1_s2}
\end{figure}

Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений в слое тканного
композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии
различных технологических дефектов под воздействием сдвиговых
нагрузок представлены в таблице~\ref{tab:max_k_s2}:

\begin{table}[ht!]
  \centering
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при чистом формоизменении}
  \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Пропуск волокна основы
     & $1{,}21$ & $1{,}04$ & $2{,}17$ & $1{,}15$ & $1{,}35$ & $1{,}41$ \\
    \hline
     Пропуск волокна основы (доуплотнение) 
     & $1{,}17$ & $0{,}92$ & $1{,}95$ & $1{,}12$ & $1{,}42$ & $1{,}45$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}34$ & $1{,}02$ & $2{,}00$ & $1{,}21$ & $1{,}06$ & $1{,}15$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}36$ & $1{,}13$ & $1{,}99$ & $1{,}15$ & $0{,}96$ & $1{,}09$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}50$ & $1{,}47$ & $2{,}24$ & $1{,}24$ & $0{,}98$ & $1{,}30$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}38$ & $1{,}21$ & $2{,}16$ & $1{,}18$ & $1{,}06$ & $1{,}32$ \\
    \hline
    \hline
     Внутренняя пора
     & $1{,}24$ & $1{,}18$ & $4{,}16$ & $1{,}25$ & $1{,}37$ & $1{,}25$ \\
    \hline
  \end{tabular}
  \label{tab:max_k_s2}
\end{table}

Из таблицы видно, что в случае приложения сдвиговых нагрузок к
фрагменту композита с локальными технологическими дефектами максимальные
значения принимают коэффициенты концентрации касательной составляющей
$\sigma_{13}$ и нормальной составляющей $\sigma_{33}$ компонент тензор
напряжений. Для фрагмента с внутренней технологической порой максимальный вклад
в коэффициенты концентрации напряжений вносят касательные составляющие
$\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора
напряжений.

На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s2}~--~\ref{fig:k_d5_s2} показаны распределения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d1d2_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d3d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d3d6_s2}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d5d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d4d7_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme2/d5}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d5_s2}
\end{figure}

Вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений превышают соответствующие
интенсивности напряжений определенное  для композита идеальной периодической
структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней технологической поры, в $1{,}3$ 
раза для случая пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}6$ раз для
одновременного разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае разрыва волокна
основы или волокон основы и утка, значение коэффициентов концентрации
интенсивностей напряжений может быть снижено до $1{,}2$ и $1{,}5$
соответственно, с помощью дополнительных операций доуплотнения
поликристаллической матрицы.

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при одноосном растяжении}

В случае, если граничные условия \ref{eq:b_cond} в краевой задаче
\eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} будут принимать вид

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = 0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond:s3}
\end{equation}

\noindent получим задачу на одноосное растяжение слоя тканого композита в
направлении, соответствующем направлению утка.

Решив задачу \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal} -- \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3} методом
конечных элементов, получим распределение интенсивности напряжений
(рис.~\ref{fig:vmis_v1_s3}) и максимальные значения коэффициентов концентрации
напряжений (таблица~\ref{tab:max_k_s3}).

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s3}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при одноосном растяжении}
 \label{fig:vmis_v1_s3}
\end{figure}

\begin{table}[ht!]
  \centering
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при одноосном растяжении}
  \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Пропуск волокна основы
     &$1{,}18$ & $1{,}26$ & $1{,}03$ & $1{,}17$ & $1{,}23$ & $1{,}18$ \\
    \hline
     Пропуск волокна основы (доуплотнение) 
     &$1{,}17$ & $1{,}90$ & $1{,}25$ & $1{,}15$ & $1{,}23$ & $1{,}19$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     &$1{,}22$ & $1{,}86$ & $1{,}34$ & $1{,}21$ & $1{,}27$ & $1{,}23$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     &$1{,}20$ & $1{,}46$ & $1{,}04$ & $1{,}16$ & $1{,}26$ & $1{,}22$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     &$1{,}39$ & $3{,}66$ & $1{,}86$ & $1{,}60$ & $1{,}32$ & $1{,}39$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     &$1{,}33$ & $2{,}64$ & $1{,}84$ & $1{,}49$ & $1{,}24$ & $1{,}34$ \\
    \hline
    \hline
     Внутренняя пора
     &$1{,}02$ & $1{,}67$ & $0{,}99$ & $1{,}05$ & $1{,}02$ & $1{,}02$ \\
    \hline
  \end{tabular}
  \label{tab:max_k_s3}
\end{table}

Из таблицы \ref{tab:max_k_s3} можно заметить, что наибольший вклад в
коэффициенты концентраций вносят касательные составляющие тензора напряжений
$\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$.
Исключение составляет случай, когда в слое тканого композита присутствует
внутренняя технологическая пора. В этом случае значение касательной
компоненты тензора напряжений превышает соответствующее значение в и идеальной
периодической структуре в $4{,}59$ раз.

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое
тканого композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при
наличии различных типов технологических дефектов и с учётом дополнительной
пропитки композита материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок
представлены на рис.~\ref{fig:k_d1d2_s3}~--~\ref{fig:k_d5_s3}.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d1d2_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d3d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d3d6_s3}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d5d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d4d7_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme3/d5}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой при одноосном
растяжении}
 \label{fig:k_d5_s3}
\end{figure}

Из рисунков видно что вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное  для композита
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней
технологической поры или разрыва волокна основы, в $1{,}3$  раза для случая
пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}4$ раз для одновременного
разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае пропуска или разрыва волокна
основы, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
снижено до $1{,}2$ и $1{,}3$ соответственно, с помощью дополнительных операций
доуплотнения поликристаллической матрицы.



\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоя тканого
композита с поликристаллической матрицей при наличии контакта с трением между
волокнами}

\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита с контактом между
волокнами}

В процессе изготовления тканого композиционного материала с поликристаллической
матрицей не всегда удается исключить соприкосновение нитей основы и утка,
вследствие чего в конструкции могут возникать такие локальные дефекты как
разрывы нитей основы, разрывы нитей основы и утка, а также внутренние
технологические поры. Поэтому необходимо построение моделей, где волокна основы
и утка не всегда окружены гарантированной прослойкой поликристаллической
матрицы. 

Геометрические параметры модели аналогичны указанным в
разделе~\ref{c1:geometry}, за исключением того что расстояние между волокнами в
точках максимальных кривизн равно нулю (рис.~\ref{fig:c3:fibers}), а в матрице,
вблизи максимальных кривизн волокон всегда присутствуют внутренние
технологические поры из-за невозможности заполнить это пространство материалом
матрицы (рис.~\ref{fig:c3:matrix}).

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/regular_slice}
 \caption{Фрагмент слоя ткани с контактом между волокнами}
 \label{fig:c3:fibers}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v2/matrix}
 \caption{Фрагмент поликристаллической матрицы слоя тканого композита с
внутренними технологическими порами}
 \label{fig:c3:matrix}
\end{figure}

В качестве дефектов, вызывающих концентрации напряжений будем рассматривать
типичные дефекты, возникающие вследствие очень плотного расположения волокон
--- разрыв волокна основы (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~а) и разрывы волокон основы и
утка (рис.~\ref{fig:c3:d2d4}~а). Кроме того рассмотрим случаи когда пора в
матрице, образованная дефектом заполняется материалом матрицы в ходе
дополнительных технологических операций (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~б и
\ref{fig:c3:d2d4}~б).

\begin{figure}
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/d1d3}
 \caption{Разрыв волокна основы в тканом композите с поликристаллической
матрицей при наличии контакта между волокнами~(а) с дополнительной
пропиткой~(б)}
 \label{fig:c3:d1d3}
\end{figure}

\begin{figure}
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/d2d4}
 \caption{Разрыв волокон основы и утка в тканом композите с поликристаллической
матрицей при наличии контакта между волокнами~(а) с дополнительной
пропиткой~(б)}
 \label{fig:c3:d2d4}
\end{figure}


\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости при наличии контакта с
трением}

Краевая задача теории упругости для случая когда в материале возникает контакт
с трением между волокнами основы и утка в местах наибольших кривизн
волокон аналогична краевой задаче \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с
граничными условиями \ref{eq:b_cond}~--~\ref{eq:b_cond_free}, за исключением
того, что соответствующих контактных поверхностях $\Gamma_9$
(рис.~\ref{fig:c3:bc}) необходимо задать дополнительные граничные условия.

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v2/bc}
 \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости при наличии контакта
с трением между волокнами}
 \label{fig:c3:bc}
\end{figure}

Положение и геометрия контактных поверхностей считается заданными и неизменными
в процессе нагружения слоя, кроме того будем считать справедливыми условия
контакта с кулоновским трением, тогда на $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 

\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[
{f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
\label{eq:b_cond_Colomb_1}
\end{equation}

\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]|_{\Gamma_9^{+}} \geq
\left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right]|_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq 
\left[f|\sigma_{nn} {\bf (r)}| \right] |_{\Gamma_9^{-}},\quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = 
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}}, 
\label{eq:b_cond_Colomb_2}
\end{equation}

\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
поверхности $\Gamma_9$.

В случае если в слое тканого композита с поликристаллической матрицей не
исключено соприкосновение волокон, вблизи мест с максимальной
кривизной волокон остаются герметичные полости, незаполненные материалом
матрицы. На поверхностях этих пор отсутствуют ограничения на перемещения, а
сама поверхность свободна от напряжений. Граничные условия на этих поверхностях
аналогичны граничным условиям \ref{eq:b_cond_free}.

\subsection{Численное решение краевой задачи упругости}

Для численного решения задачи равнокомпонетного растяжения тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей в плоскости слоя
необходимо задать свойства материала. Модуль Юнга $E_f
= 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0,20$ волокон зададим
в соответствии с данными работы \cite{bib:tarnapolsky}, а упругие модули
поликристаллической матрицы выберем следующими: $E_m = 0,28$~ГПа и
коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$. Так как между волокнами присутствует
контакт с трением, необходимо задать статический коэффициент трения
\cite{bib:code-aster:contact}: $f = 0,12$, который соответствует случаю
скольжения волокна по поверхности поликристаллической матрицы. 

Матрицу будем разбивать 14-узловыми тетраэдральными элементами
(рис.~\ref{fig:c3:mesh:matrix}), а волокно --- 20-узловыми гексаэдральными
элементами (рис.~\ref{fig:c3:mesh:fibers}). Степень дискретизации
конечно-элементной сетки будем выбирать таким образом, чтобы дальнейшее
уменьшение характерных размеров элементов ни качественно ни количественно не
влияло на значения структурных перемещений, деформаций и напряжений в слое
тканого композита. Параметры сеток, удовлетворяющих этим условиям показаны в
таблице~\ref{tab:c3:discr}.

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=17cm]{mesh/v2/matrix}
 \caption{Пример дискретизации матрицы}
 \label{fig:c3:mesh:matrix}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=15cm]{mesh/v2/fibers}
 \caption{Пример дискретизации волокон}
 \label{fig:c3:mesh:fibers}
\end{figure}

\begin{table}[ht]
 \caption{Параметры конечно-элементной сетки}
 \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
    \hline
      & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
    \hline
    \hline
     Идеальная периодическая структура & 405~480 & 77~760 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы & 405~480 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы с доуплотнением & 355~341 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка & 405~480 & 72~576 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 390~862 & 72~576 \\
    \hline
 \end{tabular}
 \label{tab:c3:discr}
\end{table}

Решив задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Koshi} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond}~--~\ref{eq:b_cond_Colomb_2} методом конечных элементов получим
поля интенсивностей напряжений в искривленных нитях основы и утка слоя
модельного тканого композита идеальной периодической структуры, показанных
на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s1}. Как видим, распределение искомых полей в
рассматриваемом случае удовлетворяет условиям симметрии и периодичности
геометрической модели и приложенной внешней нагрузке. Это свидетельствует о
корректно построенной модели и корректности полученного численного решения.
Кроме того, обращает на себя внимание концентрация напряжений в местах, где
искривленные нити основы и утка имеют наибольшую кривизну.

В табл. \ref{tab:c3:max_k_s1} представлены максимальные безразмерные
коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) /
\sigma_{ij}^{per}({\bf r})$, определяемые отношением компонент тензора
напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической
структуры. Обратим внимание на то, что наибольший вклад в коэффициенты
концентрации вносят касательные составляющие тензора напряжений $\sigma_{13}$.
Напряжения для этих компонент, в 10--48 раз превышают соответствующие значения
для модельного материала с идеальной периодической структурой.

\begin{figure}[t!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{vmis_v2_s1}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в нитях основы и утка при
равнокомпонентном двухосном растяжении}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s1}
\end{figure}

\begin{table}[t!]
 \centering
 \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя
тканого композита при двухосном равнокомпонентном растяжении в плоскости слоя}
  \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}38$ & $3{,}90$ & $1{,}71$ & $1{,}07$ & $1{,}62$ & $1{,}07$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}17$ & $3{,}18$ & $2{,}29$ & $0{,}91$ & $1{,}65$ & $1{,}38$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}32$ & $4{,}16$ & $1{,}85$ & $1{,}16$ & $1{,}64$ & $2{,}27$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}47$ & $2{,}48$ & $1{,}80$ & $0{,}97$ & $1{,}47$ & $1{,}34$ \\
    \hline
  \end{tabular}
\label{tab:c3:max_k_s1}
\end{table}

На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s1} представлены
распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений для
слоя модельного тканого композита с разрывом волокна основы и разрывом волокон
основы и утка. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
области, расположенные вблизи локального разрыва утка или одновременного
разрыва основы и утка, где интенсивность напряжений превышает соответствующее
значение, определенное для композита идеальной периодической структуры в $2{,}1$
раза. Стоит заметить, что заполнение поры, образовавшейся вследствие дефекта,
материалом поликристаллической матрицы путем дополнительной пропитки или
осаждения матрицы из газовой фазы приводит к увеличению коэффициентов
концентрации интенсивностей напряжений до $2{,}8$, при разрыве волокна основы
(рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1}~б) и $3{,}1$ при разрыве волокон основы и утка
одновременно (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s1}~б).

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:c3:k_d1d3_s1}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:c3:k_d2d4_s1}
\end{figure}

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
соприкасающимися волокнами при чистом сдвиге}

Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal}~--~\ref{eq:b_cond:s2},
соответствующими чистому сдвигу, дополненными граничными условиями
\ref{eq:b_cond_Colomb_1} и \ref{eq:b_cond_Colomb_2}, задающими трения между
волокнами основы и утка тканого композита с поликристаллической матрицей.

Поля интенсивностей напряжений, полученные в результате решения такой задачи,
показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s2}, строго периодичны, что говорит о
корректности полученного решения.

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v2_s2}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при чистом формоизменении и наличии контакта между
волокнами основы и утка}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s2}
\end{figure}

Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены в
таблице~\ref{tab:c3:max_k_s2}. Как видно из таблицы, наибольший вклад в
коэффициенты концентрации напряжений вносят касательная составляющая
$\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора напряжений.
Значения этих составляющих в материале с дефектом в $10$~--~$29$ раз превышают
соответствующие значения в материале с идеальной периодической структуре.

\begin{table}[t!]
 \centering
 \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя
тканого композита при чистом формоизменении}
  \begin{tabular}{|p{7cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}39$ & $1{,}86$ & $2{,}72$ & $1{,}31$ & $1{,}13$ & $1{,}32$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}30$ & $3{,}14$ & $5{,}41$ & $0{,}99$ & $0{,}88$ & $1{,}87$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}42$ & $2{,}00$ & $1{,}05$ & $1{,}41$ & $1{,}05$ & $1{,}76$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}24$ & $4{,}68$ & $1{,}39$ & $1{,}07$ & $0{,}96$ & $2{,}08$ \\
    \hline
  \end{tabular}
\label{tab:c3:max_k_s2}
\end{table}

На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s2} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s2} представлены
распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванных
наличием дефекта в виде разрыва волокна основы и разрыва волокон основы и утка в
слое тканого композита с поликристаллической матрицей при чистом сдвиге. 

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme2/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:c3:k_d1d3_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme2/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:c3:k_d2d4_s2}
\end{figure}

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений строго
периодично и достигает максимальных значений в местах, расположенных вблизи
локальных дефектов. При разрыве волокна основы максимальное значение
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений равно $2{,}3$
(рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s2}~а), а при одновременном разрыве волокон основы и
утка --- $3{,}0$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). При этом, заполнение поры,
образовавшейся в результате одновременного разрыва волокон основы и утка,
материалом поликристаллической матрицы путем дополнительной пропитки или
осаждения матрицы из газовой фазы позволяет снизить коэффициенты концентрации
интенсивностей напряжений до $2{,}6$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). 

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
соприкасающимися волокнами при одноосном растяжении}

Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal}, \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3},
соответствующими одноосному растяжению в направлении утка, дополненными
граничными условиями \ref{eq:b_cond_Colomb_1} и \ref{eq:b_cond_Colomb_2},
задающими трения между волокнами основы и утка тканого композита с
поликристаллической матрицей.

Поля интенсивностей напряжений, полученные в результате решения такой задачи,
показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s3}, строго периодичны, что говорит о
корректности полученного решения.

В таблице \ref{tab:c3:max_k_s3} показаны максимальные безразмерные коэффициенты
концентрации напряжений, вызванные наличием разрыва волокна основы и разрывов
волокон основы и утка в слое тканого композита с поликристаллической матрицей
при одноосном растяжении. Максимальный вклад в коэффициенты концентраций вносит
касательная составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, значения которой в
материале с локальным дефектом превышают соответствующие значения в материале с
идеальной периодической структурой в $11$~--~$16$ раз.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v2_s3}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при чистом сдвиге и наличии контакта между волокнами
основы и утка}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s3}
\end{figure}

\begin{table}[t!]
 \centering
 \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя
тканого композита при одноосном растяжении}
  \begin{tabular}{|p{7cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}30$ & $3{,}05$ & $1{,}37$ & $1{,}21$ & $1{,}43$ & $1{,}58$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}07$ & $3{,}04$ & $1{,}08$ & $1{,}02$ & $1{,}12$ & $1{,}14$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}42$ & $4{,}94$ & $1{,}05$ & $1{,}47$ & $1{,}49$ & $1{,}45$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}27$ & $2{,}71$ & $1{,}31$ & $1{,}32$ & $1{,}41$ & $1{,}71$ \\
    \hline
  \end{tabular}
\label{tab:c3:max_k_s3}
\end{table}

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванные
наличием разрыва волокна основы и разрывов волокон основы и утка, показаны на
рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s3} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s3}. 

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme3/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:c3:k_d1d3_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme3/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:c3:k_d2d4_s3}
\end{figure}

Максимальных значений коэффициенты концентрации достигают в местах наибольшей
кривизны волокон. Для материала с локальным разрывом волокна основы значения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений достигают $2{,}3$, а при
одновременном разрыве волокон основы и утка --- $2{,}5$, причем заполнение
поры, образовавшейся вследствие наличия локального дефекта, материалом
поликристаллической матрицы, путем дополнительной пропитки конструкции или
осаждения матрицы из газовой фазы, приводит к увеличению коэффициентов
концентрации до $2{,}6$ и $3{,}7$ для случаев разрыва волокна основы и
одновременного разрыва волокон основы и утка соответственно.

\section*{Выводы к третьей главе}
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы к третьей главе}

\begin{enumerate}
 \item Построены математические модели фрагмента слоя тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, одновременный разрыв волокон
основы и утка, а также наличие внутренней технологической поры с учетом
наличия гарантированной прослоки матрицы между волокнами основы и утка,
а также с учетом контакта с трением между волокнами.
 \item На основе численного решения задач комбинированного многоосного
нагружения получены значения безразмерных коэффициентов концентрации напряжений
в слое тканого композита, вызванные наличием локальных технологических дефектов.
 \item Определены механизмы, инициирующие разрушение матрицы в слое тканого
композита с искривленными волокнами. Показаны зависимости этих механизмов от
типа дефекта, вида нагружения, а также наличия в технологическом процессе
дополнительных операций, обеспечивающих проникновение связующего в полости,
образованные локальными технологическими дефектами.
\end{enumerate}