662 lines
43 KiB
TeX
662 lines
43 KiB
TeX
\chapter{математическая модель слоя тканого композиционного материала
|
||
полотняного плетения с локальными технологическими дефектами}
|
||
|
||
В главе\insecondtext
|
||
|
||
\section{Твердотельная модель тканого композита полотняного плетения}
|
||
|
||
Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
||
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
|
||
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
|
||
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
|
||
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
|
||
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
|
||
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
||
|
||
\begin{figure}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geom}
|
||
\caption{Геометрия изгиба волокна}
|
||
\label{fig:c2:geometry}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
|
||
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
|
||
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
|
||
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
|
||
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
|
||
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
|
||
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
|
||
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
|
||
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
|
||
|
||
С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
|
||
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
|
||
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
|
||
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
|
||
вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
|
||
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
|
||
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
|
||
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
|
||
\caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
|
||
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
|
||
\label{fig:c2:regular}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
|
||
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
|
||
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
|
||
плоскости слоя.
|
||
|
||
Будем рассматривать случаи, когда между волокнами основы и утка присутствует
|
||
гарантированная просолойка матрицы~(рис.~\ref{fig:c2:fragment_slice}~а) либо
|
||
волокна основы и утка соприкасаются в местах наибольших кривизн, в следствие
|
||
чего возникает контакт между волокнами~(рис.~\ref{fig:c2:fragment_slice}~б).
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{geometry/fragment_slice}
|
||
\caption{Срез фрагмента слоя тканого композита с идеальной периодической
|
||
структурой: а)~волокна окружены гарантированной прослойкой матрицы, б)~наличие
|
||
площадки контакта между волокнами.}
|
||
\label{fig:c2:fragment_slice}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
|
||
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
|
||
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:fiber_skip}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
|
||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:one_fiber_break}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
|
||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:two_fibers_break}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
|
||
\label{fig:c2:pore}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
|
||
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
|
||
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
|
||
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
|
||
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
|
||
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
|
||
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
|
||
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
|
||
|
||
Будем предполагать, что волокна и матрица слоя модельного тканого композита
|
||
изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию, взаимное расположение и
|
||
тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты тензора напряжений
|
||
$\sigma_{ij} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:c2:Eqvilibrium}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
|
||
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
|
||
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
|
||
\label{eq:c2:Koshi}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
|
||
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
|
||
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
|
||
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
|
||
записаны следующим образом:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
|
||
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
|
||
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
|
||
\label{eq:c2:Guck}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
|
||
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
|
||
|
||
Краевая задача \eqref{eq:c2:Eqvilibrium}--\eqref{eq:c2:Guck} должна
|
||
быть дополнена граничными условиями:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\begin{array}{c}
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_1^0, \\
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||
\end{array}
|
||
\label{eq:c2:b_cond}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное деформирование в плоскости
|
||
слоя и условиями идеального сопряжения
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
||
\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
|
||
{\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}}
|
||
\label{eq:c2:b_cond_ideal}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
|
||
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=12cm]{geometry/v2/bc}
|
||
\caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
|
||
\label{fig:c2:b_cond}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
|
||
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
|
||
перемещения, сама поверхность свободна от напряжений:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
||
\label{eq:c2:b_cond_free}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
а ее точки не имеют ограничений на перемещения. В случае насыщения внутренней
|
||
поры соответствующие объемы материала обладают свойствами матрицы.
|
||
|
||
В процессе изготовления тканого композиционного материала с поликристаллической
|
||
матрицей не всегда удается исключить соприкосновение нитей основы и утка,
|
||
вследствие чего в конструкции могут возникать такие локальные дефекты как
|
||
разрывы нитей основы, разрывы нитей основы и утка, а также внутренние
|
||
технологические поры. Поэтому необходимо построение моделей, где волокна основы
|
||
и утка не всегда окружены гарантированной прослойкой поликристаллической
|
||
матрицы.
|
||
|
||
Положение и геометрия контактных поверхностей считается заданными и неизменными
|
||
в процессе нагружения слоя, кроме того будем считать справедливыми условия
|
||
контакта с кулоновским трением, тогда на $\Gamma_9$ следует задать 2 условия:
|
||
|
||
\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[
|
||
{f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
|
||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
|
||
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} =
|
||
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
|
||
\label{eq:c2:b_cond_Colomb_1}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]|_{\Gamma_9^{+}} \geq
|
||
\left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right]|_{\Gamma_9^{-}}$, то
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
|
||
\left[f|\sigma_{nn} {\bf (r)}| \right] |_{\Gamma_9^{-}},\quad
|
||
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} =
|
||
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}},
|
||
\label{eq:c2:b_cond_Colomb_2}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
|
||
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
|
||
поверхности $\Gamma_9$.
|
||
|
||
В случае если в слое тканого композита с поликристаллической матрицей не
|
||
исключено соприкосновение волокон, вблизи мест с максимальной
|
||
кривизной волокон остаются герметичные полости, незаполненные материалом
|
||
матрицы. На поверхностях этих пор отсутствуют ограничения на перемещения, а
|
||
сама поверхность свободна от напряжений. Граничные условия на этих поверхностях
|
||
аналогичны граничным условиям (\ref{eq:c2:b_cond_free}).
|
||
|
||
Краевая задача \eqref{eq:c2:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:c2:Guck} с граничными
|
||
условиями \eqref{eq:c2:b_cond} -- \eqref{eq:c2:b_cond_free} решается численно
|
||
методом конечных элементов, который является одним из наиболее эффективных
|
||
методов решения задач механики деформируемого твердого тела и расчета
|
||
конструкций из тканых композитов.
|
||
|
||
Решать задачу будем с помощью некоммерческого пакета Code-Aster, входящего в
|
||
состав платформы SALOME-MECA. Этот пакет был разработан и сертифицирован
|
||
специально для французской энергетической отрасли и предназначен для задач
|
||
механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма,
|
||
выполнения расчетов для строительных конструкций и сооружений
|
||
\cite{bib:code-aster:common, bib:code-aster:presentation}.
|
||
|
||
% TODO: дорисовать узлы
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=8cm]{elements}
|
||
\caption{Пример конечных элементов: а) тетраэдральный, б) гексаэдральный}
|
||
\label{fig:c2:elements}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
% TODO: найти правильные названия конечных элементов (Зинкевич)
|
||
Дискретизация матрицы проводилась на 14-узловые тетраэдральные элементы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:elements}~а), волокно разбивалось на 20-узловые гексаэдральные
|
||
элементы (рис.~\ref{fig:c2:elements}~б).
|
||
|
||
На рис.~\ref{fig:c2:mesh:matrix} представлена конечно-элементная сетка фрагмента
|
||
матрицы слоя модельного тканого композита полотняного переплетения.
|
||
Конечно-элементная сетка волокон представлена на рис.~\ref{fig:c2:mesh:fibers}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=15cm]{mesh/v2/matrix}
|
||
\caption{Пример дискретизации матрицы}
|
||
\label{fig:c2:mesh:matrix}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/fibers}
|
||
\caption{Пример дискретизации волокон}
|
||
\label{fig:c2:mesh:fibers}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Решение контактных задач производилось стандартными средствами пакета
|
||
Code-Aster. Для сопряжения конечно-элементных сеток армирующего каркаса и
|
||
матрицы на этапе дискретизации выделялись <<главная>> и <<подчиненная>>
|
||
поверхности. На этапе расчета узловые точки <<подчиненной>> поверхности
|
||
(например, принадлежащие матрице) проецировались на те ближайшие конечные
|
||
элементы, грани которых расположены на <<главной>> поверхности, и считались
|
||
принадлежащими этим элементам. Перемещения точек <<подчиненной>> поверхности
|
||
заменялись перемещениями их проекций на элемент <<главной>> поверхности
|
||
\cite{bib:code-aster:contact}.
|
||
|
||
Для тестирования твердотельной модели и получения численного решения были
|
||
выбраны модуль Юнга $E_f = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0{,}20$
|
||
волокон, что соответствовало данным работы \cite{bib:tarnapolsky}.
|
||
Упругие модули поликристаллической матрицы были выбраны следующими: $E_m
|
||
= 0{,}28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$. В случае когда между волокнами
|
||
присутствует контакт с трением, необходимо задать статический коэффициент трения
|
||
\cite{bib:code-aster:contact}: $f = 0,12$, который соответствует случаю
|
||
скольжения волокна по поверхности поликристаллической матрицы.
|
||
|
||
Пакет Code-Aster позволяет решать задачу, используя несколько вычислительных
|
||
потоков одновременно. Зависимость времени решения задачи от количества
|
||
вычислительных потоков относительно времени решения задачи с
|
||
использованием одного потока показано в таблице~\ref{tab:c2:multiprocessing}.
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\begin{minipage}{\linewidth}
|
||
\renewcommand\thempfootnote{\arabic{mpfootnote}}
|
||
\caption[Зависимость относительного времени
|
||
вычислений от числа процессов]{Зависимость относительного
|
||
\footnote{нормировка была проведена
|
||
относительно времени вычислений с использованием одного процесса} времени
|
||
вычислений от числа процессов}
|
||
\begin{tabular}{|p{10cm}||
|
||
>{\centering\arraybackslash}p{3cm}|
|
||
>{\centering\arraybackslash}p{3cm}| }
|
||
\hline
|
||
Модель & 2 процесса & 4 процесса \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Идеальная периодическая структура & 0.95 & 0.91 \\
|
||
\hline
|
||
Туннельная пора & 0.98 & 0.96 \\
|
||
\hline
|
||
Туннельная пора, доуплотненная материалом связующего & 0.97 & 0.94 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:c2:multiprocessing}
|
||
\end{minipage}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
% TODO: Дописать параметры машины, на которой получены результаты
|
||
|
||
Как видно из таблицы, увеличение количества вычислительных процессов для
|
||
данной задачи не приводит к существенному снижению времени вычислений. Это
|
||
связано с тем, что большая часть времени приходится на операции ввода-вывода и
|
||
зависит от скорости жестких дисков и количества оперативной памяти рабочей
|
||
станции, на которой производится расчет.
|
||
|
||
Для тестирования построенной математической модели решалась задача по
|
||
определению напряженно-деформированного состояния при двухосном
|
||
равнокомпонентном деформировании слоя тканого композита с искривленными
|
||
волокнами для сеток с разным количеством конечных элементов и проводилось
|
||
сравнение значений интенсивностей напряжений $\sigma_I$ в точке, находящейся
|
||
в геометрическом центре слоя тканого композита с бездефектной идеальной
|
||
периодической структурой. Такие же задачи решались для модели слоя тканого
|
||
композита с дефектом в виде туннельной поры, для случаев когда полость,
|
||
возникающая в следствие дефекта доуплотняется материалом связующего или
|
||
остается незаполненной.
|
||
|
||
Зависимость максимальных значений интенсивности напряжений в точке, находящейся
|
||
в центре слоя тканного композита от количества конечных элементов показана в
|
||
таблице \ref{tab:c2:convergence}.
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\caption{Зависимость максимальных значений интенсивности напряжений
|
||
($\sigma_i$) от количества конечных элементов ($N$)}
|
||
|
||
\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
|
||
\hline
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Идеальная периодическая структура}&
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Туннельная пора}&
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}|}{Туннельная пора, доуплотненная материалом
|
||
связующего} \\
|
||
\hline
|
||
$N$ & $\sigma_{i}$ & $N$ & $\sigma_{i}$ & $N$ & $\sigma_{i}$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
218 207 & 33.6 & 213 381 & 38.0 & 194 196 & 37.9 \\
|
||
\hline
|
||
271 644 & 32.0 & 261 695 & 36.2 & 241 932 & 36.0 \\
|
||
\hline
|
||
365 283 & 31.1 & 345 396 & 35.2 & 326 327 & 35.2 \\
|
||
\hline
|
||
427 855 & 31.2 & 402 304 & 35.4 & 382 954 & 35.3 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:c2:convergence}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Как видим, различие между интенсивностями напряжений в двух последних
|
||
вычислительных экспериментах не превышает $1\%$, что может свидетельствовать о
|
||
достаточной степени дискретизации модели.
|
||
|
||
Распределения интенсивностей напряжений в слое тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой, полученные в ходе решения задачи показаны на
|
||
рис.~\ref{fig:c2:vmis_v1_s1}. Распределение искомых полей в рассматриваемом
|
||
случае удовлетворяют условиям симметрии и периодичности геометрической модели и
|
||
приложенной внешней нагрузке, что говорит о корректно построенной
|
||
геометрической модели и корректности полученного численного решения.
|
||
Максимальных значений интенсивность напряжений достигает в местах наибольшей
|
||
кривизны волокон.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s1}
|
||
\caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой}
|
||
\label{fig:c2:vmis_v1_s1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям неизменности
|
||
качественных и количественных характеристик для моделей с различными видами
|
||
дефектов, а также для модели с идеальной периодической структурой представлены
|
||
в таблице~\ref{tab:c2:discr}.
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\caption{Параметры конечно-элементной сетки при наличии гарантированной прослойки матрицы между
|
||
волокнами основы и утка}
|
||
\begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
|
||
\hline
|
||
& Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Идеальная периодическая структура & 298~255 & 77~760 \\
|
||
\hline
|
||
Тунельная пора & 285~664 & 69~984 \\
|
||
\hline
|
||
Туннельная пора с доуплотнением & 266~314 & 69~984 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокна основы & 285~466 & 75~168 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокна основы с доуплотнением & 296~499 & 75~168 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокон основы и утка & 279~276 & 72~576 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 276~175 & 72~576 \\
|
||
\hline
|
||
Внутренняя технологическая пора & 287~934 & 77~760 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:c2:discr}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
При наличии между волокнами основы и утка площадки контакта с трением необходимо
|
||
дополнительное сгущение сетки матрицы в местах, находящихся вблизи участков
|
||
наибольшей кривизны волокон. Параметры конечно-элементной сетки для такого
|
||
случая представлены в таблице \ref{tab:c2:discr:contact}.
|
||
|
||
\begin{table}[ht]
|
||
\caption{Параметры конечно-элементной сетки при наличии контакта с трением
|
||
между волокнами основы и утка}
|
||
\begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
|
||
\hline
|
||
& Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Идеальная периодическая структура & 405~480 & 77~760 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокна основы & 405~480 & 75~168 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокна основы с доуплотнением & 355~341 & 75~168 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокон основы и утка & 405~480 & 72~576 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 390~862 & 72~576 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:c2:discr:contact}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
\pagebreak
|
||
\section{Модуль расширений платформы моделирования SALOME-MECA для анализа
|
||
напряженного состояния слоя тканого композита}
|
||
|
||
Для анализа напряженного состояния слоя тканого композита необходимо
|
||
обрабатывать большой объем информации. Данная операция не предусматривается в
|
||
стандарном инструментарии платформы SALOME-MECA. Открытая арихтектура платформы
|
||
позовляет разработать модуль расширений для необходимого анализа.
|
||
|
||
Пусть $\Theta$ --- анализируемый параметр поля напряжений, определенный в
|
||
некоторой точке тела из численного решения краевой задачи методом конечных
|
||
элементов. В качестве языка для написания модуля расширений был выбран
|
||
объектно-ориентированный язык программирования Python 2.7, который
|
||
предоставляет структуры данных высокого уровня, имеет изящный синтаксис и
|
||
использует динамический контроль типов, что делает его идеальным языком для
|
||
быстрого написания различных приложений, работающих на большинстве
|
||
распространенных платформ \cite{bib:rossum}.
|
||
|
||
Диаграмма классов модуля расширения платформы SALOME-MECA для рассчета
|
||
параметра $\Theta$ показана на рис.~\ref{fig:c2:classDiagramm}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=\linewidth]{classDiagramm}
|
||
\caption{Диаграмма классов модуля расширений для вычисления параметра $\Theta$}
|
||
\label{fig:c2:classDiagramm}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Модуль расширения реализуется одним основным и тремя вспомогательными классами:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \verb TKCalculator --- основной класс для вычисления параметра $\Theta$
|
||
в
|
||
каждой точке конечно-элементной сетки;
|
||
\item \verb TPoint --- вспомогательный класс для описания точки в трехмерном
|
||
пространстве;
|
||
\item \verb TKValues --- вспомогательный класс для описания множества
|
||
значений параметра $\Theta$ в каждой точке конечно-элементной сетки;
|
||
\item \verb TObjective --- вспомогательный класс для описания параметров
|
||
задачи, при которых необходимо найти значения параметра $\Theta$.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
В классе TKCalculator реализован метод для импорта данных из выходных файлов
|
||
конечно-элементного процессора Code-Aster, входящего в состав платформы
|
||
SALOME-MECA (fillFromFile), метод для получения значений параметра $\Theta$ в
|
||
произвольной точки конечно-элементной сетки по указанным координатам
|
||
(getKForPoint), а также метод для вывода значений параметра $\Theta$
|
||
для каждой точки конечно-элементной сетки в файл (saveKToFile), для
|
||
последующего анализа или графического отображения.
|
||
|
||
Для исключения ошибок использования классов используется 4 перечисления:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \verb EProblem --- вид задачи, может принимать значения:
|
||
\begin{description}
|
||
\item [СС\_Without\_Contact ]: керамические волокна в
|
||
поликристаллической матрице без учета контакта с трением;
|
||
\item [CC\_With\_Contact ]: керамические волокна в поликристаллической
|
||
матрице при наличии контакта с трением;
|
||
\item [CS\_Without\_Contact ]: стальные волокна в поликристаллической
|
||
матрице без учета контакта с трением;
|
||
\item [CS\_With\_Contact ]: стальные волокна в поликристаллической
|
||
матрице при наличии контакта с трением.
|
||
\end{description}
|
||
|
||
\item \verb ESchema --- схема нагружения, может принимать значения:
|
||
\begin{description}
|
||
\item [X1X3\_Tension]: двухсторонняя равнокомпонентная деформация растяжения в
|
||
плоскости слоя;
|
||
\item [X1\_Tension]: деформация растяжения в направлении волокон основы;
|
||
\item [X1\_Tension\_X3\_Compression]: чистое формоизменение;
|
||
\item [X1X3\_Compression]: двухсторонняя равнокомпонентная деформация сжатия в
|
||
плоскости слоя;
|
||
\item [X1\_Compression]: деформация сжатия в направлении волокон основы;
|
||
\item [X1X3\_Unequal\_Compression]: двухсторонняя неравнокомпонентная
|
||
деформация сжатия в плоскости слоя.
|
||
\end{description}
|
||
|
||
\item \verb EDefect --- дефект, может принимать значения:
|
||
\begin{description}
|
||
\item [Regular]: идеальная периодическая структура;
|
||
\item [Fiber\_Skip]: пропуск волокна основы;
|
||
\item [Fiber\_Skip\_Matrix]: пропуск волокна основы с учетом доуплотнения
|
||
полости образованной дефектом материалом матрицы;
|
||
\item [One\_Fiber\_Break]: разрыв волокна основы;
|
||
\item [One\_Fiber\_Break\_Matrix]: разрыв волокна основы с учетом
|
||
доуплотнения полости образованной дефектом материалом матрицы;
|
||
\item [Two\_Fibers\_Break]: разрыв волокон основы и утка;
|
||
\item [Two\_Fibers\_Break\_Matrix]: разрыв волокон основы и утка с учетом
|
||
доуплотнения полости образованной дефектом материалом матрицы;
|
||
\item [Pore]: внутренняя технологическая пора.
|
||
\end{description}
|
||
|
||
\item \verb EPhase --- фаза, может принимать значения:
|
||
\begin{description}
|
||
\item [Matrix]: фаза матрицы;
|
||
\item [Fibers]: фаза волокон.
|
||
\end{description}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Для систематизации данных, полученных в результате решения краевых задач, а
|
||
также для увеличения скорости обработки большого объема данных была разработана
|
||
база данных, инфологическая схема которой представлена на рис.~\ref{fig:c2:er}.
|
||
|
||
\immediate\write18{dot -Tpng -o fig/er.png er.dot}
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{er}
|
||
\caption{ER-диаграмма базы данных для вычисления параметра $\Theta$}
|
||
\label{fig:c2:er}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
В базе данных использовались две стержневые сущности (<<Cвойства>> и
|
||
<<Точки>>), а также ассоциация между ними. Стержневая сущность <<Точки>> с
|
||
составным ключом {\bf X$_1$, X$_2$, X$_3$} предназначена для хранения координат
|
||
точек конечно-элементной сетки. Стержневая сущность <<Свойства>> с составным
|
||
ключом {\bf Задача, Схема нагружения, Дефект, Фаза} предназначена для хранения
|
||
информации о компонентах тензора напряжений и интесивности напряжений для
|
||
каждой
|
||
точки конечно-элементной сетки. Значения атрибутов составного ключа сущности
|
||
<<Свойства>> соответсвуют значениям классов-перечислений
|
||
\verb EProblem , \verb ESchema , \verb EDefect и \verb EPhase .
|
||
|
||
Даталогическая модель базы данных для вычисления параметра $\Theta$
|
||
представлена на рис.~\ref{fig:c2:datalogical}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{datalogical}
|
||
\caption{Даталогическая модель базы данных для вычисления параметра $\Theta$}
|
||
\label{fig:c2:datalogical}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Соответствия свойств во всех точках конечно-элементой сетки модели с идеальной
|
||
периодической структурой соответствующим точкам конечно-элементной сетки модели
|
||
с внутренним технологическим дефектом могут быть найдены с помощью реляционного
|
||
выражения~\ref{eq:c2:relP}:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\begin{array}{rl}
|
||
P = & (\sigma_{defectId = 0}(Properties~P_1) \\
|
||
& [P_1.pointId = P_2.pointId] \\
|
||
& \sigma_{defectId \neq 0}(Properties~P_2)) \\
|
||
& [P1.pointId = Points.pointId]Points.
|
||
\end{array}
|
||
\label{eq:c2:relP}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
Проецируя отношение $P$ на соответствующие атрибуты, найдем значения
|
||
параметра $\Theta$ для каждой точки конечно-элементной сетки
|
||
(\ref{eq:c2:relK}):
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\begin{array}{rl}
|
||
\Theta = & P[X1, X2, X3, \\
|
||
& P_2.sigma\_11 \tau P_1.sigma\_11, P_2.sigma\_22 \tau P_1.sigma\_22, \\
|
||
& P_2.sigma\_33 \tau P_1.sigma\_33, P_2.sigma\_12 \tau P_1.sigma\_12, \\
|
||
& P_2.sigma\_13 \tau P_1.sigma\_13, P_2.sigma\_23 \tau P_1.sigma\_13, \\
|
||
& P_2.sigma\_I \tau P_1.sigma\_I].
|
||
\end{array}
|
||
\label{eq:c2:relK}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
С помощью ограничения отношения $\Theta$ по атрибутам \verb problemId , \\
|
||
\verb schemaId , \verb defectId и \verb phaseId можно получить значения
|
||
параметра $\Theta$ в каждой точке конечно-элементной сетки для необходимого
|
||
вида задачи, схемы нагружения, типа дефекта или фазы материала. При ограничении
|
||
отношения $\Theta$ по атрибутам \verb X1 , \verb X2 и \verb X3 получим
|
||
значения параметра $\Theta$ в необходимой точке конечно-элементной сетки.
|
||
|
||
В качестве системы управления базой данных для реализации физической модели
|
||
была выбрана встраиваемая СУБД SQLite 2.8.17. Выбор данной СУБД был обусловлен
|
||
простотой использования, отсутсвием необходимости установки и настройки сервера
|
||
СУБД, высокой скоростью выполнения запросов, а также доступностью для
|
||
большинства операционных систем.
|
||
|
||
\section*{Выводы ко второй главе}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы ко второй главе}
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Построены геометрическая и математическа модели фрагмента слоя тканого
|
||
композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
|
||
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
|
||
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, разрыв волокон основы и утка и
|
||
внутренняя технологическая пора.
|
||
\item На основе численного решения задачи двухосного равнокомпонентного
|
||
растяжения в плоскости слоя тканого композита проведено тестирование полученной
|
||
модели.
|
||
\item Приведены параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям
|
||
условиям сходимости задачи.
|
||
\item Приведены диаграмма классов и инфологическая модель разработанной базы
|
||
данных для расчета безразмерного параметра $\Theta$ описывающее исследуемое
|
||
свойство слоя тканого композита.
|
||
\end{enumerate}
|