204 lines
12 KiB
TeX
204 lines
12 KiB
TeX
\chapter{Локальные поля напряжений и деформаций в представительных объемах
|
||
тканого композита с поликристаллической матрицей}
|
||
|
||
\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения тканого композита с
|
||
поликристаллической матрицей}
|
||
|
||
Рассмотрим слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
||
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
|
||
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
|
||
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
|
||
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
|
||
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$ (рис.
|
||
\ref{fig:geometry}) \cite{bib:imankulova}.
|
||
|
||
\begin{figure}
|
||
\caption{Геометрия изгиба волокна}
|
||
\label{fig:geometry}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
В процессе изготовления композита не удается исключить соприкосновения
|
||
нитей основы и утка. Поэтому будем предполагать, что искривленные
|
||
волокна, принадлежащие слою тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой, не всегда окружены гарантированным
|
||
слоем поликристаллической матрицы, в результате чего основа и уток
|
||
соприкасаются. Кроме того, в силу малости деформаций будем считать углы
|
||
$\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
||
|
||
Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
|
||
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
|
||
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
|
||
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
|
||
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
|
||
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
|
||
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
|
||
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
|
||
моделирования реакторов.
|
||
|
||
% На рис.~\ref{fig:defects}~а и б представлен фрагмент слоя тканого композита,
|
||
% армирующий каркас которого образован полотняным переплетением утка и основы
|
||
% (с коэффициентами армирования $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0,14$
|
||
% соответственно). Здесь и далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой
|
||
% системы координат принадлежат плоскости слоя.
|
||
%
|
||
% В рассматриваемом случае локальными концентраторами напряжений
|
||
% являются технологические поры, возникающие в областях, расположенных
|
||
% вблизи участков волокон с наибольшей кривизной (рис.~\ref{fig:pore}), и
|
||
% дефекты, связанные со случайными разрывами нитей утка
|
||
% (рис.~\ref{fig:defects},~а) или основы и утка (рис.~\ref{fig:defects},~б)
|
||
% в процессе прошивки слоев. Обратим внимание на то, что локальные разрывы
|
||
% нитей армирующего каркаса могут иметь место и в исходной ткани до
|
||
% прошивки. Образующаяся в результате полости имеют характерные
|
||
% размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не
|
||
% изменяют значительно интегральные коэффициенты армирования композита,
|
||
% могут оказаться заполненными материалом матрицы (при дополнительном уплотнении
|
||
% с последующей карбонизацией или доосаждением материала из газовой фазы) или
|
||
% оставаться незаполненными.
|
||
%
|
||
% \begin{figure}
|
||
% \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
|
||
% % \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d1}} \\ а)
|
||
% \end{minipage}
|
||
% \hfill
|
||
% \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
|
||
% % \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d2}} \\ б)
|
||
% \end{minipage}
|
||
% \caption{Локальные разрывы нитей слоя тканого композита}
|
||
% \label{fig:defects}
|
||
% \end{figure}
|
||
%
|
||
% \begin{figure}
|
||
% \centering
|
||
% % \includegraphics[width=0.77\linewidth]{img/pore}
|
||
% \caption{Внутренняя технологическая пора}
|
||
% \label{fig:pore}
|
||
% \end{figure}
|
||
|
||
Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
|
||
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
|
||
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
|
||
тензора напряжений
|
||
$\sigma_{ij,j} ({\bf r})$
|
||
удовлетворяют
|
||
уравнениям равновесия
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:kov:Eqvilibrium}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
|
||
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями
|
||
Коши
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
|
||
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
|
||
\label{eq:kov:Koshi}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
|
||
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
|
||
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
|
||
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
|
||
записаны следующим образом:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
|
||
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
|
||
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
|
||
\label{eq:kov:Guck}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
|
||
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
|
||
|
||
Краевая задача \eqref{eq:kov:Eqvilibrium}--\eqref{eq:kov:Guck} должна
|
||
быть дополнена граничными условиями
|
||
|
||
\begin{equation} u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf
|
||
(r)}|_{\Gamma_1} =
|
||
u_3^0, \label{eq:kov:b_cond}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
$$ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||
$$
|
||
|
||
$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} =
|
||
0,
|
||
$$
|
||
|
||
$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} =
|
||
0,
|
||
$$
|
||
|
||
\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное
|
||
равнокомпонентное деформирование в плоскости слоя и условиями
|
||
идеального сопряжения
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
||
\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i {\bf
|
||
(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} \label{eq:kov:b_cond_ideal}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:b_cond}).
|
||
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
% \includegraphics[width=0.53\linewidth]{img/gu}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с искривленными волокнами}
|
||
\label{fig:b_cond}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
В случае, если в модельном материале не исключается возможность контакта
|
||
нитей основы и утка, на соответствующих контактных поверхностях
|
||
$\Gamma_9$ (положение и геометрия которых считается заданными и неизменными
|
||
в процессе нагружения слоя) будем считать справедливыми условия контакта
|
||
с кулоновским трением. На $\Gamma_9$ следует задать 2 условия:
|
||
|
||
\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)}
|
||
\right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |}
|
||
\right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
|
||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
|
||
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
|
||
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
|
||
\label{eq:kov:b_cond_Colomb_1}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]
|
||
|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right ]
|
||
|_{\Gamma_9^{-}}$, то
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[
|
||
f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right ] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
|
||
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
|
||
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:kov:b_cond_Colomb_2}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
|
||
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
|
||
поверхности $\Gamma_9$.
|
||
|
||
Внутренние поры имеют место в слое композита в случае, если не
|
||
исключается соприкосновение волокон. Это герметичные полости, недоступные
|
||
для материала матрицы, имеют внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на
|
||
которой отсутствуют ограничения на перемещения, а сама поверхность свободна
|
||
от напряжений:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
||
\label{eq:kov:b_cond_free}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
|
||
и квазипериодическим расположением волокон}
|
||
|
||
\section{Выводы ко второй главе} |