735 lines
44 KiB
TeX
735 lines
44 KiB
TeX
\chapter{Локальные поля напряжений и деформаций в представительных объемах
|
||
тканого композита с поликристаллической матрицей}
|
||
|
||
В главе\insecondtext
|
||
|
||
\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения тканого композита с
|
||
поликристаллической матрицей}
|
||
|
||
\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
|
||
\label{c1:geometry}
|
||
|
||
Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
||
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
|
||
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
|
||
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
|
||
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
|
||
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
|
||
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
||
|
||
\begin{figure}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geom}
|
||
\caption{Геометрия изгиба волокна}
|
||
\label{fig:c2:geometry}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
|
||
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
|
||
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
|
||
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
|
||
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
|
||
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
|
||
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
|
||
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
|
||
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
|
||
|
||
С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
|
||
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
|
||
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
|
||
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
|
||
вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
|
||
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
|
||
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
|
||
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
|
||
\caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
|
||
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
|
||
\label{fig:c2:regular}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
|
||
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
|
||
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
|
||
плоскости слоя.
|
||
|
||
Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
|
||
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
|
||
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:fiber_skip}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
|
||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:one_fiber_break}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
|
||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:two_fibers_break}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
|
||
\label{fig:c2:pore}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
|
||
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
|
||
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
|
||
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
|
||
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
|
||
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
|
||
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
|
||
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
|
||
|
||
\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}
|
||
|
||
Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
|
||
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
|
||
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
|
||
тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
|
||
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
|
||
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
|
||
\label{eq:Koshi}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
|
||
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
|
||
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
|
||
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
|
||
записаны следующим образом:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
|
||
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
|
||
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
|
||
\label{eq:Guck}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
|
||
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
|
||
|
||
Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
|
||
быть дополнена граничными условиями
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\begin{array}{c}
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||
\end{array}
|
||
\label{eq:b_cond}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
|
||
деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
||
\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
|
||
{\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}}
|
||
\label{eq:b_cond_ideal}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
|
||
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
|
||
\caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
|
||
\label{fig:c2:b_cond}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
|
||
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
|
||
перемещения, а сама поверхность свободна от напряжений:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
||
\label{eq:b_cond_free}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
|
||
и квазипериодическим расположением волокон}
|
||
|
||
\subsection{Численное решение краевой задачи упругости методом конечных
|
||
элементов}
|
||
|
||
Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
|
||
\eqref{eq:b_cond} -- \eqref{eq:b_cond_free} решается численно методом конечных
|
||
элементов, который является одним из наиболее эффективных методов решения задач
|
||
механики деформируемого твердого тела и расчета конструкций из тканых
|
||
композитов.
|
||
|
||
Решать задачу будем с помощью некоммерческого пакета Code-Aster, входящего в
|
||
состав платформы SALOME-MECA. Этот пакет был разработан и сертифицирован
|
||
специально для французской энергетической отрасли и предназначен для задач
|
||
механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма,
|
||
выполнения расчетов для строительных конструкций и сооружений
|
||
\cite{bib:code-aster:common, bib:code-aster:presentation}.
|
||
|
||
Дискретизация матрицы проводилась на 14-узловые тетраэдральные элементы
|
||
(рис.~\ref{fig:elements}~а), волокно разбивалось на 20-узловые гексаэдральные
|
||
элементы (рис.~\ref{fig:elements}~б).
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=8cm]{elements}
|
||
\caption{Пример конечных элементов: а) тетраэдральный, б) гексаэдральный}
|
||
\label{fig:elements}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
На рис.~\ref{fig:mesh:matrix} представлена конечно-элементная сетка фрагмента
|
||
матрицы слоя модельного тканого композита полотняного переплетения.
|
||
Конечно-элементная сетка волокон представлена на рис.~\ref{fig:mesh:fibers}.
|
||
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/matrix}
|
||
\caption{Пример дискретизации матрицы}
|
||
\label{fig:mesh:matrix}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/fibers}
|
||
\caption{Пример дискретизации волокон}
|
||
\label{fig:mesh:fibers}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Степень дискретизации выбиралась таким образом, чтобы чтобы полученные значения
|
||
структурных перемещений, деформаций и напряжений в слое тканого композита без
|
||
локальных дефектов и с несовершенствами ни качественно, ни количественно не
|
||
изменялись при уменьшении характерных размеров конечных элементов.
|
||
|
||
Из таблицы~{\ref{tab:convergence}}, в которой показана зависимость максимальных
|
||
интенсивностей напряжений от количества конечных элементов, видно, что
|
||
расхождение между двумя последними строками не превышает $1\%$. Это говорит о
|
||
достаточной степени дискретизации модели.
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\caption{Зависимость максимальных интенсивностей напряжений от количества
|
||
\newline конечных элементов}
|
||
|
||
\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
|
||
\hline
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Идеальная периодическая структура}&
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Тунельная пора}&
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}|}{Туннельная пора, доуплотненная матрицей} \\
|
||
\hline
|
||
$C$ & $\sigma_{max}$ & $C$ & $\sigma_{max}$ & $C$ & $\sigma_{max}$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
218 207 & 33.6 & 213 381 & 38.0 & 194 196 & 37.9 \\
|
||
\hline
|
||
271 644 & 32.0 & 261 695 & 36.2 & 241 932 & 36.0 \\
|
||
\hline
|
||
365 283 & 31.1 & 345 396 & 35.2 & 326 327 & 35.2 \\
|
||
\hline
|
||
427 855 & 31.2 & 402 304 & 35.4 & 382 954 & 35.3 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:convergence}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям неизменности
|
||
качественных и количественных характеристик для моделей с различными видами
|
||
дефектов, а также для модели с идеальной периодической структурой представлены
|
||
в таблице~\ref{tab:discr}.
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\caption{Параметры конечно-элементной сетки}
|
||
\begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
|
||
\hline
|
||
& Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Идеальная периодическая структура & 298~255 & 77~760 \\
|
||
\hline
|
||
Тунельная пора & 285~664 & 69~984 \\
|
||
\hline
|
||
Туннельная пора с доуплотнением & 266~314 & 69~984 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокна основы & 285~466 & 75~168 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокна основы с доуплотнением & 296~499 & 75~168 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокон основы и утка & 279~276 & 72~576 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 276~175 & 72~576 \\
|
||
\hline
|
||
Внутренняя технологическая пора & 287~934 & 77~760 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:discr}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Модуль Юнга $E_f = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0{,}20$
|
||
волокон соответствовали данным работы \cite{bib:tarnapolsky}.
|
||
Упругие модули поликристаллической матрицы были выбраны следующими: $E_m
|
||
= 0{,}28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$.
|
||
|
||
Распределения интенсивностей напряжений в слое тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой, полученные в ходе решения задачи показаны на
|
||
рис.~\ref{fig:vmis_v1_s1}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s1}
|
||
\caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой}
|
||
\label{fig:vmis_v1_s1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Из рисунка видно, что распределение искомых полей в рассматриваемом случае
|
||
удовлетворяют условиям симметрии и периодичности геометрической модели и
|
||
приложенной внешней нагрузке, что говорит о корректно построенной
|
||
геометрической модели и корректности полученного численного решения.
|
||
Максимальных значений интенсивность напряжений достигает в местах наибольшей
|
||
кривизны волокон.
|
||
|
||
\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений}
|
||
|
||
Безразмерные коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) /
|
||
\sigma_{ij}^{per}({\bf r})$ вычислялись как отношение компонент тензора
|
||
напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
|
||
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической структуры.
|
||
|
||
Для расчета коэффициентов концентрации был написан пакет вспомогательных
|
||
программ с использованием языка программирования Python, который является
|
||
простым и, в то же время, мощным интерпретируемым объектно-ориентированным
|
||
языком программирования. Он предоставляет структуры данных высокого уровня,
|
||
имеет изящный синтаксис и использует динамический контроль типов, что делает
|
||
его идеальным языком для быстрого написания различных приложений, работающих
|
||
на большинстве распространенных платформ \cite{bib:rossum}.
|
||
|
||
Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены в
|
||
таблице~\ref{tab:max_k_s1}:
|
||
|
||
\begin{table}[ht]
|
||
\centering
|
||
\caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
|
||
композита при двухосном равнокомпонентном растяжении в плоскости слоя}
|
||
\begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
|
||
\hline
|
||
& $K_{\sigma_{11}}$
|
||
& $K_{\sigma_{22}}$
|
||
& $K_{\sigma_{33}}$
|
||
& $K_{\sigma_{12}}$
|
||
& $K_{\sigma_{13}}$
|
||
& $K_{\sigma_{23}}$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Пропуск волокна основы
|
||
& $1{,}36$ & $1{,}15$ & $1{,}07$ & $1{,}18$ & $1{,}05$ & $1{,}48$ \\
|
||
\hline
|
||
Пропуск волокна основы (доуплотнение)
|
||
& $1{,}21$ & $1{,}19$ & $0{,}97$ & $0{,}99$ & $1{,}04$ & $1{,}15$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Разрыв нити основы
|
||
& $1{,}47$ & $2{,}33$ & $1{,}71$ & $0{,}97$ & $1{,}96$ & $1{,}47$ \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв нити основы (доуплотнение)
|
||
& $1{,}29$ & $1{,}13$ & $0{,}94$ & $1{,}16$ & $1{,}27$ & $1{,}24$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Разрыв нитей основы и утка
|
||
& $1{,}32$ & $1{,}09$ & $0{,}96$ & $0{,}95$ & $2{,}90$ & $1{,}55$ \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение)
|
||
& $1{,}18$ & $0{,}98$ & $0{,}9$ & $1{,}01$ & $1{,}06}$ & $1{,}14$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Внутренняя пора
|
||
& $1{,}08$ & $1{,}39$ & $1{,}11$ & $1{,}89}$ & $1{,}27$ & $1{,}38}$\\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:max_k_s1}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Как видно из таблицы, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для всех
|
||
типов дефектов кроме внутренней технологической поры вносит касательная
|
||
составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, её значение в модели с
|
||
дефектом более чем в $2$ раза превышает соответствующее значение в идеальной
|
||
периодической модели. В случае внутренней технологической поры значения
|
||
коэффициентов концентраций превышают $4$ и соответствуют касательным
|
||
составляющим тензора напряжений $\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$.
|
||
|
||
На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s1}~--~\ref{fig:k_d5_s1} показаны распределения
|
||
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
|
||
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
|
||
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
|
||
материалом матрицы. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
|
||
достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
|
||
утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
|
||
области, расположенные вблизи локальных дефектов, где интенсивности напряжений
|
||
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное для композита
|
||
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза для случаев разрыва волокна
|
||
основы и внутренней технологической поры, в $1{,}4$ раза для случая пропуска
|
||
волокна основы и в $1{,}5$ раз для одновременного разрыва волокон основы и
|
||
утка. При этом, в случае пропуска волокна основы или разрыва волокон основы и
|
||
утка, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
|
||
снижено до $1{,}3$ с помощью дополнительных операций доуплотнения
|
||
поликристаллической матрицы.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme1/d1d2}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б)}
|
||
\label{fig:k_d1d2_s1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\pagebreak
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme1/d3d6}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б)}
|
||
\label{fig:k_d3d6_s1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme1/d4d7}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б)}
|
||
\label{fig:k_d4d7_s1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\pagebreak
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme1/d5}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с внутренней технологической порой}
|
||
\label{fig:k_d5_s1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при чистом сдвиге}
|
||
|
||
Если в краевой задаче \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} заменить
|
||
граничные условия \ref{eq:b_cond} граничными условиями
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\begin{array}{c}
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = -u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0,\\
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||
\end{array}
|
||
\label{eq:b_cond:s2}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent получим задачу на чистый сдвиг, решив которую получим распределение
|
||
интенсивностей напряжений, показанных на рис.~\ref{fig:vmis_v1_s2}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s2}
|
||
\caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой при чистом формоизменении}
|
||
\label{fig:vmis_v1_s2}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений в слое тканного
|
||
композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии
|
||
различных технологических дефектов под воздействием сдвиговых
|
||
нагрузок представлены в таблице~\ref{tab:max_k_s2}:
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
|
||
композита при чистом формоизменении}
|
||
\begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
|
||
\hline
|
||
& $K_{\sigma_{11}}$
|
||
& $K_{\sigma_{22}}$
|
||
& $K_{\sigma_{33}}$
|
||
& $K_{\sigma_{12}}$
|
||
& $K_{\sigma_{13}}$
|
||
& $K_{\sigma_{23}}$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Пропуск волокна основы
|
||
& $1{,}21$ & $1{,}04$ & $2{,}17$ & $1{,}15$ & $1{,}35$ & $1{,}41$ \\
|
||
\hline
|
||
Пропуск волокна основы (доуплотнение)
|
||
& $1{,}17$ & $0{,}92$ & $1{,}95$ & $1{,}12$ & $1{,}42$ & $1{,}45$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Разрыв нити основы
|
||
& $1{,}34$ & $1{,}02$ & $2{,}00$ & $1{,}21$ & $1{,}06$ & $1{,}15$ \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв нити основы (доуплотнение)
|
||
& $1{,}36$ & $1{,}13$ & $1{,}99$ & $1{,}15$ & $0{,}96$ & $1{,}09$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Разрыв нитей основы и утка
|
||
& $1{,}50$ & $1{,}47$ & $2{,}24$ & $1{,}24$ & $0{,}98$ & $1{,}30$ \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение)
|
||
& $1{,}38$ & $1{,}21$ & $2{,}16$ & $1{,}18$ & $1{,}06$ & $1{,}32$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Внутренняя пора
|
||
& $1{,}24$ & $1{,}18$ & $4{,}16$ & $1{,}25$ & $1{,}37$ & $1{,}25$ \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:max_k_s2}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Из таблицы видно, что в случае приложения сдвиговых нагрузок к
|
||
фрагменту композита с локальными технологическими дефектами максимальные
|
||
значения принимают коэффициенты концентрации касательной составляющей
|
||
$\sigma_{13}$ и нормальной составляющей $\sigma_{33}$ компонент тензор
|
||
напряжений. Для фрагмента с внутренней технологической порой максимальный вклад
|
||
в коэффициенты концентрации напряжений вносят касательные составляющие
|
||
$\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора
|
||
напряжений.
|
||
|
||
На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s2}~--~\ref{fig:k_d5_s2} показаны распределения
|
||
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
|
||
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
|
||
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
|
||
материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme2/d1d2}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
|
||
\label{fig:k_d1d2_s2}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme2/d3d6}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
|
||
\label{fig:k_d3d6_s2}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\pagebreak
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme2/d4d7}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
|
||
\label{fig:k_d4d7_s2}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme2/d5}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с внутренней технологической порой при чистом сдвиге}
|
||
\label{fig:k_d5_s2}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений превышают соответствующие
|
||
интенсивности напряжений определенное для композита идеальной периодической
|
||
структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней технологической поры, в $1{,}3$
|
||
раза для случая пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}6$ раз для
|
||
одновременного разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае разрыва волокна
|
||
основы или волокон основы и утка, значение коэффициентов концентрации
|
||
интенсивностей напряжений может быть снижено до $1{,}2$ и $1{,}5$
|
||
соответственно, с помощью дополнительных операций доуплотнения
|
||
поликристаллической матрицы.
|
||
|
||
\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при одноосном растяжении}
|
||
|
||
В случае, если граничные условия \ref{eq:b_cond} в краевой задаче
|
||
\eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} будут принимать вид
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\begin{array}{c}
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = 0, \\
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||
\end{array}
|
||
\label{eq:b_cond:s3}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent получим задачу на одноосное растяжение слоя тканого композита в
|
||
направлении, соответствующем направлению утка.
|
||
|
||
Решив задачу \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
|
||
\ref{eq:b_cond_ideal} -- \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3} методом
|
||
конечных элементов, получим распределение интенсивности напряжений
|
||
(рис.~\ref{fig:vmis_v1_s3}) и максимальные значения коэффициентов концентрации
|
||
напряжений (таблица~\ref{tab:max_k_s3}).
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s3}
|
||
\caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой при одноосном растяжении}
|
||
\label{fig:vmis_v1_s3}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
|
||
композита при одноосном растяжении}
|
||
\begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
|
||
\hline
|
||
& $K_{\sigma_{11}}$
|
||
& $K_{\sigma_{22}}$
|
||
& $K_{\sigma_{33}}$
|
||
& $K_{\sigma_{12}}$
|
||
& $K_{\sigma_{13}}$
|
||
& $K_{\sigma_{23}}$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Пропуск волокна основы
|
||
&$1{,}18$ & $1{,}26$ & $1{,}03$ & $1{,}17$ & $1{,}23$ & $1{,}18$ \\
|
||
\hline
|
||
Пропуск волокна основы (доуплотнение)
|
||
&$1{,}17$ & $1{,}90$ & $1{,}25$ & $1{,}15$ & $1{,}23$ & $1{,}19$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Разрыв нити основы
|
||
&$1{,}22$ & $1{,}86$ & $1{,}34$ & $1{,}21$ & $1{,}27$ & $1{,}23$ \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв нити основы (доуплотнение)
|
||
&$1{,}20$ & $1{,}46$ & $1{,}04$ & $1{,}16$ & $1{,}26$ & $1{,}22$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Разрыв нитей основы и утка
|
||
&$1{,}39$ & $3{,}66$ & $1{,}86$ & $1{,}60$ & $1{,}32$ & $1{,}39$ \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение)
|
||
&$1{,}33$ & $2{,}64$ & $1{,}84$ & $1{,}49$ & $1{,}24$ & $1{,}34$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Внутренняя пора
|
||
&$1{,}02$ & $1{,}67$ & $0{,}99$ & $1{,}05$ & $1{,}02$ & $1{,}02$ \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:max_k_s3}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Из таблицы \ref{tab:max_k_s3} можно заметить, что наибольший вклад в
|
||
коэффициенты концентраций вносят касательные составляющие тензора напряжений
|
||
$\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$.
|
||
Исключение составляет случай, когда в слое тканого композита присутствует
|
||
внутренняя технологическая пора. В этом случае значение касательной
|
||
компоненты тензора напряжений превышает соответствующее значение в и идеальной
|
||
периодической структуре в $4{,}59$ раз.
|
||
|
||
Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое
|
||
тканого композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при
|
||
наличии различных типов технологических дефектов и с учётом дополнительной
|
||
пропитки композита материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок
|
||
представлены на рис.~\ref{fig:k_d1d2_s3}~--~\ref{fig:k_d5_s3}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme3/d1d2}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
|
||
\label{fig:k_d1d2_s3}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme3/d3d6}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
|
||
\label{fig:k_d3d6_s3}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\pagebreak
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme3/d4d7}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
|
||
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
|
||
\label{fig:k_d4d7_s3}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme3/d5}
|
||
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
|
||
слое тканого композита с внутренней технологической порой при одноосном
|
||
растяжении}
|
||
\label{fig:k_d5_s3}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Из рисунков видно что вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений
|
||
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное для композита
|
||
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней
|
||
технологической поры или разрыва волокна основы, в $1{,}3$ раза для случая
|
||
пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}4$ раз для одновременного
|
||
разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае пропуска или разрыва волокна
|
||
основы, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
|
||
снижено до $1{,}2$ и $1{,}3$ соответственно, с помощью дополнительных операций
|
||
доуплотнения поликристаллической матрицы.
|
||
|
||
\section*{Выводы ко второй главе}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы ко второй главе}
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Построена твердотельная модель фрагмента слоя тканого композита с
|
||
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
|
||
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
|
||
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, разрыв волокон основы и утка и
|
||
внутренняя технологическая пора.
|
||
\item Получены численные решения краевых задач на двухосное растяжение в
|
||
плоскости слоя, чистый сдвиг и одноосное растяжение в направлении утка.
|
||
\item Вычислены безразмерные коэффициенты концентрации напряжений, вызванные
|
||
наличием локальных технологических дефектов в виде пропуска волокна основы,
|
||
разрыва волокна основы, разрыва волокон основы и утка, а также внутренней
|
||
технологической поры.
|
||
\item Определены механизмы инициирующие разрушение матрицы в слое тканого
|
||
композита с искривленными волокнами.
|
||
\end{enumerate}
|