\chapter{Краевые задачи УАМ}
\label{c4}

\section[Общая характеристика полной системы уравнений УАМ]{Общая характеристика \\ полной системы уравнений УАМ}

Разделы упругости анизотропных материалов не позволяют самостоятельно находить величины, характеризующие внутреннее состояние материала при
деформировании, то есть определить перемещения $U_i$, деформации $\epsilon_{ij}$ и напряжения $\sigma_{ij}$. Однако, если объединить уравнения, которые выполняются в каждой точке материала, то можно получить полную систему уравнений, в которой количество неизвестных соответствует количеству уравнений. В такую систему входят:

\begin{equation}
 \label{c4:koshi}
 \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(U_{i,j}+U_{j,i});
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c4:ravnov}
 \sigma_{ij,j} + f_i = 0;
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c4:guck}
 \sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}.
\end{equation}

Уравнения (\ref{c4:koshi}) --- геометрические соотношения Коши (6 уравнений, 9 неизвестных), (\ref{c4:ravnov}) --- уравнения равновесия в напряжениях (3 уравнения, 6 неизвестных), (\ref{c4:guck}) --- обобщенный закон Гука (6 уравнений).

В уравнения (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) входят 15 величин, характеризующие внутреннее состояние материала: три компоненты вектора перемещений $U_i$, шесть независимых компонент симметричного тензора деформаций $\varepsilon_{ij}$ и шесть независимых компонент тензора напряжений $\sigma_{ij}$. Всего, в совокупности, (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) состоят из 15 уравнений. Уравнения (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) образуют систему (неизвестные входят в разные уравнения), эта система является полной, поскольку количество неизвестных соответствует количеству уравнений. Система (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) называется полной системой уравнений упругости анизотропных материалов.

Система уравнений (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) является системой дифференциальных уравнений в частных производных I порядка, линейных, неоднородных (в общем случае), с постоянными коэффициентами.

Если к полной системе уравнений (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) добавить граничные условия на поверхности тела, то можно получить краевые задачи для этой полной системы. Полная система уравнений (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) выполняется в каждой точке деформируемого тела.

\section{3 типа граничных условий УАМ}

Граничными условиями являются условия на поверхности тела. Могут быть либо кинематическими (когда на поверхности тела заданы перемещения), либо статическими (когда на поверхности тела заданы поверхностные силы). Условиями I типа называют обычно статические граничные условия (граничные условия в напряжениях). Граничные условия в напряжениях полностью соответствуют условиям на поверхности в напряжениях.

\begin{equation}
 \label{c4:gran_usl}
 \sigma_{ij}n_j |_S = T_i,
\end{equation}

где $S$ --- поверхность тела, $\sigma_{ij}$ --- неизвестный тензор напряжений в точках поверхности тела, $n_j$ --- проекции вектора единичной нормали $\overrightarrow{n}$ к поверхноститела\footnote{Проекции вектора единичной нормали $\overrightarrow{n}$ считаются известными в каждой точке, поскольку геометрия тела считается заданной.}, $T_i$ --- проекции вектора поверхностных сил $\overrightarrow{T}(X_1, X_2, X_3)$, заданного на поверхности тела $S$.

II тип граничных условий --- кинематические граничные условия или граничные условия в перемещениях:

\begin{equation}
 \label{c4:kinem_usl}
 U_i |_S = U_i^0,
\end{equation}

где $U_i$ --- неизвестные проекции вектора перемещений $\overrightarrow{U}(X_1, X_2, X_3)$ в точках поверхности тела, $U_i^0$ --- функции, заданные на поверхности тела. Как правило, кинематические граничные условия отражают условия закрепления тела при его взаимодействии с другими телами.

Граничные условия (\ref{c4:gran_usl}) и (\ref{c4:kinem_usl}) могут быть однородными, когда заданные на поверхности функции равны нулю.

Граничные условия III типа --- смешанные граничные условия --- на одних частях тела заданы условия в напряжениях, а на других --- условия в перемещениях:

\begin{equation}
 \label{c4:mixed_usl} 
 \begin{array}{l}
    \left\{ 
    \begin{array}{l}
      \sigma_{ij}n_j|_{S_{\sigma}} = T_i; \\
      U_i |_{S_U} = U_i^0;  
    \end{array} \right. \\
    S_{\sigma} + S_{U} = S.
 \end{array} 
\end{equation}

Смешанные граничные условия в наибольшей степени соответствуют прикладным задачам упругости анизотропных материалов.

\section[Полная система уравнений в перемещениях]{Полная система уравнений \\ в перемещениях УАМ}

Полная система в общем виде включает в себя 15 неизвестных. Одним из наиболее эффективных способов решения систем является исключение из системы части неизвестных при сохранении так называемых базовых неизвестных величин, через которые выражаются исключаемые величины. Примем в качестве базовых неизвестных величин системы (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) функции компонент вектора перемещений $U_i(X_1, X_2, X_3)$ и получим новую полную систему уравнений, содержащую только эти неизвестные, причем, полученная система должна быть эквивалентна исходной\footnote{Решения этих систем должны быть одинаковы.}. Подставим геометрические соотношения Коши (\ref{c4:koshi}) в обобщенный закон Гука (\ref{c4:guck}):

$$
 \sigma_{ij} = C_{ijkl}\left[\frac{1}{2}(U_{k,l} + U_{l,k})\right] = 
		\frac{1}{2} C_{ijkl}U_{k,l} + \frac{1}{2}C_{ijkl}U_{l,k} = C_{ijkl}U_{k,l}.
$$

Во втором слагаемом по индексам $k$ и $l$ ведется суммирование, поэтому их можно обозначить любыми буквами, поэтому мы можем индекс $k$ обозначить буквой $l$, а индекс $l$ --- буквой $k$ и, после этого воспользоваться условием симметрии для тензора модулей упругости.

\begin{equation}
 \label{c4:guck_perem}
 \sigma_{ij} = C_{ijkl}U_{k,l} = C_{ijkl} \frac{\partial U_k}{\partial X_l}.
\end{equation}

Формула (\ref{c4:guck_perem}) --- обобщенный закон Гука, выраженный в перемещениях. Подставим выражение (\ref{c4:guck_perem}) в уравнение равновесия в напряжениях (\ref{c4:ravnov}):

$$
 \frac{\partial}{\partial X_j} \left[C_{ijkl}\frac{\partial U_k}{\partial X_l}\right] + f_i = 0.
$$

Если рассматриваемая упругая среда является однородной (хотя, в общем случае, и анизотропной), то тензор модулей упругости $C_{ijkl}$ есть константа, не зависящая от координат. С учетом этого последнее выражение можно записать в виде:

\begin{equation}
 \label{c4:full_sist}
 C_{ijkl}\frac{\partial^2 U_k}{\partial X_j \partial X_l} + f_i = 0.
\end{equation}

Уравнения (\ref{c4:full_sist}) --- полная система уравнений в перемещениях упругости анизотропных материалов. Система уравнений (\ref{c4:full_sist}) состоит из трех уравнений относительно трех базовых неизвестных функций $U_1$, $U_2$ и $U_3$ и является эквивалентной исходной системе (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}). Уменьшив количество уравнений системы, мы получили систему более высокого порядка (вместо производных I порядка --- производные II порядка). Система (\ref{c4:full_sist}) --- система дифференциальных уравнений в частных производных II порядка, линейных, неоднородных (в общем случае, когда $f_i \neq 0$), с постоянными коэффициентами. Систему (\ref{c4:full_sist}) можно записать в развернутом виде, первое уравнение будет иметь вид:

$$
 C_{1111} \frac{\partial^2 U_1}{\partial X_1^2} + C_{1112} \frac{\partial^2 U_1}{\partial X_1 \partial X_2} +
 C_{1113} \frac{\partial^2 U_1}{\partial X_1 \partial X_3} + C_{1121} \frac{\partial^2 U_2}{\partial X_1^2} + \dots + f_1 = 0.
$$

Аналогичным образом записываются и два других уравнения системы.

\section[Граничные условия краевой задачи в перемещениях]{Граничные условия краевой задачи \\ в перемещениях УАМ}

Для полной системы уравнений в перемещениях (\ref{c4:full_sist}) также как и для эквивалентной ей исходной системы уравнений (\ref{c4:koshi}) -- (\ref{c4:guck}) можно рассматривать краевые задачи трех типов с граничными условиями, соответствующими граничным условиям в напряжениях (\ref{c4:gran_usl}), в перемещениях (\ref{c4:kinem_usl}) и смешанным граничным условиям (\ref{c4:mixed_usl}). При этом условия в перемещениях (\ref{c4:kinem_usl}) остаются неизменными, а в граничных условиях (\ref{c4:gran_usl}) и (\ref{c4:mixed_usl}) необходимо напряжения выразить через перемещения с использованием выражения (\ref{c4:guck_perem}). Тогда граничные условия в напряжениях записанные через перемещения имеют вид:

\begin{equation}
 \label{c4:gran_usl_2}
 C_{ijkl}\frac{\partial U_k}{\partial X_l}\overrightarrow{n}_j|_S = T_i.
\end{equation}

Аналогичным образом записывается и составляющая смешанных условий, записанная через перемещения. Таким образом в краевых задачах в перемещениях используются граничные условия как для самих неизвестных функций (\ref{c4:kinem_usl}), так и для их производных (\ref{c4:gran_usl_2}).

\section{Работа внешних сил}

Для упругих анизотропных материалов и тел работа внешних сил равна работе внутренних сил и равна потенциальной энергии деформаций, поскольку
сохраняются принципы сохранения энергии. Работа внешних сил для упругого тела записывается следующим образом:

\begin{equation}
 \label{c4:work_out}
 A = \int\int_S T_i U_i dS + \int\int\int_V f_i U_i dV,
\end{equation}

где $T_i$ --- проекции поверхностных сил, $U_i$ в первом слагаемом --- перемещение точек поверхности $S$, $f_i$ --- проекции объемных сил, $U_i$ во втором слагаемом --- проекции перемещений точек объема.

Из граничных условий в напряжениях на поверхности следует: 

$$
 \sigma_{ij} n_j = T_i,
$$ 

$$
 \begin{array}{ll}
   A & = \int\int_S \sigma_{ij} U_i n_j dS + \int\int\int_V f_i U_i dV = 
         \int\int\int_V \left[\frac{\partial}{\partial X_j}(\sigma_ij U_i) + f_i U_i\right]dV = \\
     & = \int\int\int_V U_i \left(\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial Xj} + f_i\right)dV +
         \int\int\int_V \frac{\partial U_i}{\partial X_j}\sigma_{ij}dV.
 \end{array}
$$

Первое слагаемое равно нулю, так как подынтегральная функция равна нулю.

\begin{equation}
 \label{c4:work_and_def}
 A = \int\int\int_V \frac{\partial U_i}{\partial X_j} \sigma_{ij} dV.
\end{equation}

Выражение (\ref{c4:work_and_def}) связывает работу внешних сил $A$ с величинами, описывающими внутреннее деформированное состояние материала или тела.

$$
 \sigma_{ij}\frac{\partial U_i}{\partial X_j} = \frac{1}{2}\sigma_{ij}\frac{\partial U_i}{\partial X_j} +
                                                \frac{1}{2}\sigma_{ji}\frac{\partial U_j}{\partial X_i} = 
                                                \frac{1}{2}\sigma_{ij}\left[\frac{\partial U_i}{\partial X_j} + 
                                                                            \frac{\partial U_j}{\partial X_i}\right].
$$

\begin{equation}
 \label{c4:work_and_inner}
 A = \int\int\int_V \sigma_{ij}\varepsilon_{ij} dV.
\end{equation}

(\ref{c4:work_and_inner}) --- формула, связывающая работу внешних сил с внутренними параметрами материала.

$$
 \sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl};
$$

$$
 A = \int\int\int_V C_{ijkl}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{kl} dV.
$$

В соответствии с формулой (\ref{c3:W}) последнее выражение можно переписать в виде:

$$
 A = 2 \int\int\int_V WdV.
$$

Где $W$ --- потенциал тензора напряжений, который имеет физический смысл удельной потенциальной энергии деформации, то есть потенциальной энергии материальной частицы в каждой точке тела. Интеграл имеет смысл потенциальной энергии деформации всего тела с объемом $V$.

\begin{equation}
 \label{c4:W_star}
 W^* = \frac{1}{2} A.
\end{equation}

Где $W^{∗}$ --- потенциальная энергия деформации всего тела $V$, а сама формула (\ref{c4:W_star}) представляет собой математическую формулировку теоремы Клапейрона: потенциальная энергия деформации упругого тела равна половине работы внешних сил, совершенных на перемещениях, вызванных действием этих сил.

\section[Теорема об единственности решения]{Теорема об единственности решения \\ краевых задач УАМ}

В зависимости от типа граничных условий существует три типа краевых задач упругости анизотропных материалов.

\begin{equation}
 \label{c4:statement}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  \sigma_{ij,j} + f_i = 0; \\
  \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (U_{i,j} + U_{j,i}); \\
  \sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}.
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c4:cond1}
 \sigma_{ij} n_j |_S = T_i.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c4:cond2}
 U_i |_S = U_i^0.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c4:cond3}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  \sigma_{ij} n_j |_{S_{\sigma}} = T_i; \\
  U_i |_{S_U} = U_i^0.
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

Доказательство теоремы об единственности решения мы будем вести одновременно для краевых задач всех трех типов: (\ref{c4:statement}) -- (\ref{c4:cond1}), (\ref{c4:statement}) -- (\ref{c4:cond2}), (\ref{c4:statement}) -- (\ref{c4:cond3}). Доказательство будем вести от противного. Предположим, что существует решение для всех трех типов краевых задач:

\begin{equation}
 \label{c4:solution1}
 \begin{array}{l}
  \sigma'_{ij}(X_1, X_2, X_3); \\
  \varepsilon'_{ij}(X_1, X_2, X_3); \\
  U'_i(X_1, X_2, X_3).
 \end{array}
\end{equation}

Решения (\ref{c4:solution1}) удовлетворяют системе (\ref{c4:statement}) и всем трем типам граничных условий (\ref{c4:cond1}), (\ref{c4:cond2}) и (\ref{c4:cond3}). Пусть существует и другое решение:

\begin{equation}
 \label{c4:solution2}
 \begin{array}{l}
  \sigma''_{ij}(X_1, X_2, X_3); \\
  \varepsilon''_{ij}(X_1, X_2, X_3); \\
  U''_i(X_1, X_2, X_3).
 \end{array}
\end{equation}

Решение (\ref{c4:solution2}) тоже полностью удовлетворяет системе (\ref{c4:statement}) и граничным условиям (\ref{c4:cond1}), (\ref{c4:cond2}) и (\ref{c4:cond3}). Составим разности этих решений:

$$
 \begin{array}{l}
  \sigma'_{ij} − \sigma''_{ij} = \tilde{\sigma}_{ij}; \\
  \varepsilon'_{ij} − \varepsilon''_{ij} = \tilde{\varepsilon}_{ij};\\
  U'_i − U''_i = \tilde{U}_i
 \end{array}
$$

Получим систему уравнений и граничные условия для функций $\tilde{\sigma}_{ij}$, $\tilde{\varepsilon}_{ij}$ и $\tilde{U}_i$, для чего в каждое из уравнений системы (\ref{c4:statement}) подставим функции решения (\ref{c4:solution1}), затем функции решения (\ref{c4:solution2}) и вычтем из одного уравнения другое, например, для первого уравнения:

$$
 \begin{array}{l}
  \sigma'_{ij,j} + f_i = 0; \\
  \sigma''_{ij,j} + f_i = 0; \\
  \sigma'_{ij,j} − \sigma''_{ij,j} = 0; \\
  (\sigma'_{ij} − \sigma''_{ij})_{,j} = 0; \\
  \tilde{\sigma}_{ij,j} = 0.
 \end{array}
$$

Аналогично для других уравнений:

\begin{equation}
 \label{c4:statement_tilde}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  \tilde{\varepsilon}_{ij} = \frac{1}{2} (\tilde{U}_{i,j} + \tilde{U}_{j,i}); \\
  \tilde{\sigma}_{ij} = C_{ijkl}\tilde{\varepsilon}_{kl}; \\
  \tilde{\sigma}_{ij,j} = 0.  
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

Для этих величин получим граничные условия всех трех типов:

\begin{equation}
 \label{c4:cond1_tilde}
 \tilde{\sigma}_{ij} n_j |_S = 0;
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c4:cond2_tilde}
 \tilde{U}_i |_S = 0;
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c4:cond3_tilde}
 \left\{
 \begin{array}{l}
   \tilde{\sigma}_{ij} n_j |_{S_{\sigma}} = 0; \\
   \tilde{U}_i |_{S_U} = 0.
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

Таким образом для разности двух решений мы получили полную систему (\ref{c4:statement_tilde}) и однородные граничные условия трех типов: (\ref{c4:cond1_tilde}), (\ref{c4:cond2_tilde}) и (\ref{c4:cond3_tilde}). Запишем для этой краевой задачи выражение, которое связывает работу внешних сил на перемещении этих сил с параметрами внутреннего состояния, аналогичное формуле (\ref{c4:work_and_inner}):

$$
 \tilde{A} = \int\int\int_V \tilde{\sigma}_{ij} \tilde{\varepsilon}_{ij} dV.
$$

При этом для работы $\tilde{A}$ должно быть справедливо:

$$
 \tilde{a} = \int\int_S \tilde{T}_i \tilde{U}_i dS + \int\int\int_V \tilde{f}_i \tilde{U}_i dV = \int\int_S \tilde{T}_i \tilde{U}_i dS.
$$

Где поверхностные силы $\tilde{T}_i$ и объемные силы $\tilde{f}_i$ --- те объемные и поверхностные силы, которые соответствуют краевым задачам для разности решений (\ref{c4:solution1}) - (\ref{c4:solution2}). Из первого уравнения системы (\ref{c4:statement_tilde}) следует, что $\tilde{f}_i = 0$, следовательно и соответствующий интеграл равен нулю. Для граничных условий (\ref{c4:cond1_tilde}), соответствующих краевой задаче I типа, $\tilde{T}_i = 0$, для краевой задачи II типа $\tilde{U}_i = 0$, а для краевой задачи III типа интеграл по поверхности $S$ можно разбить на два: по поверхности $S_U$ и по поверхности $S_{\sigma}$, каждый из которых будет равен нулю, так как на поверхности $S_U$ $\tilde{U}_i = 0$, а на поверхности $S_{\sigma}$ $\tilde{T}_i = 0$. Следовательно, величина $\tilde{A} = 0$ для всех типов краевых задач. Таким образом:

\begin{equation}
 \label{c4:end}
 \begin{array}{l}
  \int\int\int_V \tilde{\sigma}_ij \tilde{\varepsilon}_ij dV = 0; \\
  \int\int\int_V \tilde{W} dV = 0.
 \end{array}
\end{equation}

Где $\tilde{W} = \frac{1}{2} C_{ijkl} \tilde{\varepsilon}_{ij} \tilde{\varepsilon}_{kl}$ является квадратичной формой симметричного тензора $\tilde{\varepsilon}_{ij}$. Ранее было показано, что квадратичная форма есть величина неотрицательная ($\tilde{W} \geq 0$), причем, $\tilde{W} = 0$ только тогда, когда $\tilde{\varepsilon}_{ij} = 0$. Тогда интеграл (\ref{c4:end}) может быть равен нулю только когда величина $\tilde{\varepsilon}_{ij}$ во всех точках объема равна нулю. Значит во всех точках объема $\tilde{\varepsilon}_{ij} = 0$, следовательно, $\varepsilon'_{ij} = \varepsilon''_{ij}$, таким образом, по полю деформаций двух разных решений быть не может. Из третьего уравнения системы (\ref{c4:statement_tilde}) следует, что при $\tilde{\varepsilon}_{ij} = 0$, $\tilde{\sigma}_{ij}$ тоже равна нулю, следовательно, $\sigma'_{ij} = \sigma''_{ij}$ во всех точках объема тела, то есть и для поля напряжений не может быть различных решений для всех типов краевых задач. Из геометрических соотношений Коши следует, что $\tilde{U}_i$ тоже равно нулю во всех точках тела, отсюда можно сделать вывод, о том, что $U'_i = U''_i$ с точностью до константы, однако изменение перемещений на константу соответствует перемещению тела как абсолютно твердого в пространстве и никак не связано с внутренним состоянием деформируемого тела, поэтому поле перемещений точек друг относительно друга тоже является единственным.
