Initial commit

c2.tex

@@ -0,0 +1,129 @@
+\chapter{Физическая модель слоя тканого КМ}
+
+\section{Краевая задача}
+
+Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
+тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
+взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
+тензора напряжений 
+$\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ 
+удовлетворяют
+уравнениям равновесия
+
+\begin{equation}
+ \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:kov:Eqvilibrium}
+\end{equation}
+
+\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
+с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями
+Коши 
+
+\begin{equation}
+\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
+r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
+\label{eq:kov:Koshi}
+\end{equation}
+
+Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
+кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
+${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
+или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
+записаны следующим образом:
+
+\begin{equation}
+\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
+C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
+\varepsilon_{kl}({\bf r}),
+\label{eq:kov:Guck}
+\end{equation}
+
+\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
+коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
+
+Краевая задача \eqref{eq:kov:Eqvilibrium}--\eqref{eq:kov:Guck} должна
+быть дополнена граничными условиями
+
+\begin{equation}  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf
+(r)}|_{\Gamma_1} =
+u_3^0, \label{eq:kov:b_cond}
+\end{equation}
+
+$$ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
+{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
+$$
+
+$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
+ \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} =
+ 0,
+$$
+
+$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
+ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} =
+ 0,
+$$
+
+\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное
+равнокомпонентное деформирование в плоскости слоя и условиями
+идеального сопряжения
+
+\begin{equation}
+\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
+\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
+\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i {\bf
+(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} \label{eq:kov:b_cond_ideal}
+\end{equation}
+
+\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:b_cond}).
+
+\begin{figure}[!ht]
+ \centering
+%  \includegraphics[width=0.53\linewidth]{img/gu}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с искривленными волокнами}
+ \label{fig:b_cond}
+\end{figure}
+
+В случае, если в модельном материале не исключается возможность контакта
+нитей основы и утка, на соответствующих контактных поверхностях
+$\Gamma_9$ (положение и геометрия которых считается заданными и неизменными
+в процессе нагружения слоя) будем считать справедливыми условия контакта
+с кулоновским трением. На $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 
+
+\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)}
+\right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |}
+\right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
+
+\begin{equation}
+\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
+\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
+\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
+(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
+\label{eq:kov:b_cond_Colomb_1}
+\end{equation}
+
+\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]
+|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right ]
+|_{\Gamma_9^{-}}$, то
+
+\begin{equation}
+\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[
+f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right ] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
+\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
+(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:kov:b_cond_Colomb_2}
+\end{equation}
+
+\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
+--- определяют направление внешней нормали и касательной к
+поверхности $\Gamma_9$.
+
+Внутренние поры имеют место в слое композита в случае, если не
+исключается соприкосновение волокон. Это герметичные полости, недоступные
+для материала матрицы, имеют внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на
+которой отсутствуют ограничения на перемещения, а сама поверхность свободна
+от напряжений:
+
+\begin{equation}
+\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
+\label{eq:kov:b_cond_free}
+\end{equation}
+
+\section{Выводы ко второй главе}