Chapeters was refactored

This commit is contained in:
2014-05-23 18:25:14 +06:00
parent 36d7c4fad3
commit 85476f29bb
5 changed files with 617 additions and 610 deletions

420
c3.tex
View File

@@ -3,6 +3,403 @@
В главе\inthirdtext
\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
и квазипериодическим расположением волокон}
\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений}
Безразмерные коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) /
\sigma_{ij}^{per}({\bf r})$ вычислялись как отношение компонент тензора
напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической структуры.
Для расчета коэффициентов концентрации был написан пакет вспомогательных
программ с использованием языка программирования Python, который является
простым и, в то же время, мощным интерпретируемым объектно-ориентированным
языком программирования. Он предоставляет структуры данных высокого уровня,
имеет изящный синтаксис и использует динамический контроль типов, что делает
его идеальным языком для быстрого написания различных приложений, работающих
на большинстве распространенных платформ \cite{bib:rossum}. Для увеличения
скорости обработки большого объема данных использовалась встраиваемая
система управления базами данных SQLite.
Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены в
таблице~\ref{tab:max_k_s1}:
\begin{table}[ht]
\centering
\caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при двухосном равнокомпонентном растяжении в плоскости слоя}
\begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $K_{\sigma_{11}}$
& $K_{\sigma_{22}}$
& $K_{\sigma_{33}}$
& $K_{\sigma_{12}}$
& $K_{\sigma_{13}}$
& $K_{\sigma_{23}}$ \\
\hline
\hline
Пропуск волокна основы
& $1{,}36$ & $1{,}15$ & $1{,}07$ & $1{,}18$ & $1{,}05$ & $1{,}48$ \\
\hline
Пропуск волокна основы (доуплотнение)
& $1{,}21$ & $1{,}19$ & $0{,}97$ & $0{,}99$ & $1{,}04$ & $1{,}15$ \\
\hline
\hline
Разрыв нити основы
& $1{,}47$ & $2{,}33$ & $1{,}71$ & $0{,}97$ & $1{,}96$ & $1{,}47$ \\
\hline
Разрыв нити основы (доуплотнение)
& $1{,}29$ & $1{,}13$ & $0{,}94$ & $1{,}16$ & $1{,}27$ & $1{,}24$ \\
\hline
\hline
Разрыв нитей основы и утка
& $1{,}32$ & $1{,}09$ & $0{,}96$ & $0{,}95$ & $2{,}90$ & $1{,}55$ \\
\hline
Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение)
& $1{,}18$ & $0{,}98$ & $0{,}9$ & $1{,}01$ & $1{,}06$ & $1{,}14$ \\
\hline
\hline
Внутренняя пора
& $1{,}08$ & $1{,}39$ & $1{,}11$ & $1{,}89$ & $1{,}27$ & $1{,}38$\\
\hline
\end{tabular}
\label{tab:max_k_s1}
\end{table}
Как видно из таблицы, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для всех
типов дефектов кроме внутренней технологической поры вносит касательная
составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, её значение в модели с
дефектом более чем в $2$ раза превышает соответствующее значение в идеальной
периодической модели. В случае внутренней технологической поры значения
коэффициентов концентраций превышают $4$ и соответствуют касательным
составляющим тензора напряжений $\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$.
На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s1}~--~\ref{fig:k_d5_s1} показаны распределения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
материалом матрицы. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
области, расположенные вблизи локальных дефектов, где интенсивности напряжений
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное для композита
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза для случаев разрыва волокна
основы и внутренней технологической поры, в $1{,}4$ раза для случая пропуска
волокна основы и в $1{,}5$ раз для одновременного разрыва волокон основы и
утка. При этом, в случае пропуска волокна основы или разрыва волокон основы и
утка, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
снижено до $1{,}3$ с помощью дополнительных операций доуплотнения
поликристаллической матрицы.
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d1d2}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
\label{fig:k_d1d2_s1}
\end{figure}
\pagebreak
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d3d4}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
\label{fig:k_d3d6_s1}
\end{figure}
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d5d6}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
\label{fig:k_d4d7_s1}
\end{figure}
\pagebreak
\begin{figure}[ht!]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme1/d5}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой}
\label{fig:k_d5_s1}
\end{figure}
\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при чистом сдвиге}
Если в краевой задаче \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} заменить
граничные условия \ref{eq:b_cond} граничными условиями
\begin{equation}
\begin{array}{c}
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = -u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0,\\
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
\end{array}
\label{eq:b_cond:s2}
\end{equation}
\noindent получим задачу на чистый сдвиг, решив которую получим распределение
интенсивностей напряжений, показанных на рис.~\ref{fig:vmis_v1_s2}.
\begin{figure}[ht]
\includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s2}
\caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при чистом формоизменении}
\label{fig:vmis_v1_s2}
\end{figure}
Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений в слое тканного
композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии
различных технологических дефектов под воздействием сдвиговых
нагрузок представлены в таблице~\ref{tab:max_k_s2}:
\begin{table}[ht!]
\centering
\caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при чистом формоизменении}
\begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $K_{\sigma_{11}}$
& $K_{\sigma_{22}}$
& $K_{\sigma_{33}}$
& $K_{\sigma_{12}}$
& $K_{\sigma_{13}}$
& $K_{\sigma_{23}}$ \\
\hline
\hline
Пропуск волокна основы
& $1{,}21$ & $1{,}04$ & $2{,}17$ & $1{,}15$ & $1{,}35$ & $1{,}41$ \\
\hline
Пропуск волокна основы (доуплотнение)
& $1{,}17$ & $0{,}92$ & $1{,}95$ & $1{,}12$ & $1{,}42$ & $1{,}45$ \\
\hline
\hline
Разрыв нити основы
& $1{,}34$ & $1{,}02$ & $2{,}00$ & $1{,}21$ & $1{,}06$ & $1{,}15$ \\
\hline
Разрыв нити основы (доуплотнение)
& $1{,}36$ & $1{,}13$ & $1{,}99$ & $1{,}15$ & $0{,}96$ & $1{,}09$ \\
\hline
\hline
Разрыв нитей основы и утка
& $1{,}50$ & $1{,}47$ & $2{,}24$ & $1{,}24$ & $0{,}98$ & $1{,}30$ \\
\hline
Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение)
& $1{,}38$ & $1{,}21$ & $2{,}16$ & $1{,}18$ & $1{,}06$ & $1{,}32$ \\
\hline
\hline
Внутренняя пора
& $1{,}24$ & $1{,}18$ & $4{,}16$ & $1{,}25$ & $1{,}37$ & $1{,}25$ \\
\hline
\end{tabular}
\label{tab:max_k_s2}
\end{table}
Из таблицы видно, что в случае приложения сдвиговых нагрузок к
фрагменту композита с локальными технологическими дефектами максимальные
значения принимают коэффициенты концентрации касательной составляющей
$\sigma_{13}$ и нормальной составляющей $\sigma_{33}$ компонент тензор
напряжений. Для фрагмента с внутренней технологической порой максимальный вклад
в коэффициенты концентрации напряжений вносят касательные составляющие
$\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора
напряжений.
На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s2}~--~\ref{fig:k_d5_s2} показаны распределения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок.
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d1d2}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
\label{fig:k_d1d2_s2}
\end{figure}
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d3d4}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
\label{fig:k_d3d6_s2}
\end{figure}
\pagebreak
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d5d6}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
\label{fig:k_d4d7_s2}
\end{figure}
\begin{figure}[ht!]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme2/d5}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой при чистом сдвиге}
\label{fig:k_d5_s2}
\end{figure}
Вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений превышают соответствующие
интенсивности напряжений определенное для композита идеальной периодической
структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней технологической поры, в $1{,}3$
раза для случая пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}6$ раз для
одновременного разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае разрыва волокна
основы или волокон основы и утка, значение коэффициентов концентрации
интенсивностей напряжений может быть снижено до $1{,}2$ и $1{,}5$
соответственно, с помощью дополнительных операций доуплотнения
поликристаллической матрицы.
\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при одноосном растяжении}
В случае, если граничные условия \ref{eq:b_cond} в краевой задаче
\eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} будут принимать вид
\begin{equation}
\begin{array}{c}
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = 0, \\
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
\end{array}
\label{eq:b_cond:s3}
\end{equation}
\noindent получим задачу на одноосное растяжение слоя тканого композита в
направлении, соответствующем направлению утка.
Решив задачу \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal} -- \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3} методом
конечных элементов, получим распределение интенсивности напряжений
(рис.~\ref{fig:vmis_v1_s3}) и максимальные значения коэффициентов концентрации
напряжений (таблица~\ref{tab:max_k_s3}).
\begin{figure}[ht]
\includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s3}
\caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при одноосном растяжении}
\label{fig:vmis_v1_s3}
\end{figure}
\begin{table}[ht!]
\centering
\caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при одноосном растяжении}
\begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $K_{\sigma_{11}}$
& $K_{\sigma_{22}}$
& $K_{\sigma_{33}}$
& $K_{\sigma_{12}}$
& $K_{\sigma_{13}}$
& $K_{\sigma_{23}}$ \\
\hline
\hline
Пропуск волокна основы
&$1{,}18$ & $1{,}26$ & $1{,}03$ & $1{,}17$ & $1{,}23$ & $1{,}18$ \\
\hline
Пропуск волокна основы (доуплотнение)
&$1{,}17$ & $1{,}90$ & $1{,}25$ & $1{,}15$ & $1{,}23$ & $1{,}19$ \\
\hline
\hline
Разрыв нити основы
&$1{,}22$ & $1{,}86$ & $1{,}34$ & $1{,}21$ & $1{,}27$ & $1{,}23$ \\
\hline
Разрыв нити основы (доуплотнение)
&$1{,}20$ & $1{,}46$ & $1{,}04$ & $1{,}16$ & $1{,}26$ & $1{,}22$ \\
\hline
\hline
Разрыв нитей основы и утка
&$1{,}39$ & $3{,}66$ & $1{,}86$ & $1{,}60$ & $1{,}32$ & $1{,}39$ \\
\hline
Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение)
&$1{,}33$ & $2{,}64$ & $1{,}84$ & $1{,}49$ & $1{,}24$ & $1{,}34$ \\
\hline
\hline
Внутренняя пора
&$1{,}02$ & $1{,}67$ & $0{,}99$ & $1{,}05$ & $1{,}02$ & $1{,}02$ \\
\hline
\end{tabular}
\label{tab:max_k_s3}
\end{table}
Из таблицы \ref{tab:max_k_s3} можно заметить, что наибольший вклад в
коэффициенты концентраций вносят касательные составляющие тензора напряжений
$\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$.
Исключение составляет случай, когда в слое тканого композита присутствует
внутренняя технологическая пора. В этом случае значение касательной
компоненты тензора напряжений превышает соответствующее значение в и идеальной
периодической структуре в $4{,}59$ раз.
Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое
тканого композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при
наличии различных типов технологических дефектов и с учётом дополнительной
пропитки композита материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок
представлены на рис.~\ref{fig:k_d1d2_s3}~--~\ref{fig:k_d5_s3}.
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d1d2}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
\label{fig:k_d1d2_s3}
\end{figure}
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d3d4}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
\label{fig:k_d3d6_s3}
\end{figure}
\pagebreak
\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d5d6}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
\label{fig:k_d4d7_s3}
\end{figure}
\begin{figure}[ht!]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme3/d5}
\caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой при одноосном
растяжении}
\label{fig:k_d5_s3}
\end{figure}
Из рисунков видно что вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное для композита
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней
технологической поры или разрыва волокна основы, в $1{,}3$ раза для случая
пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}4$ раз для одновременного
разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае пропуска или разрыва волокна
основы, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
снижено до $1{,}2$ и $1{,}3$ соответственно, с помощью дополнительных операций
доуплотнения поликристаллической матрицы.
\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоят тканого
композита с поликристаллической матрицей при наличии контакта с трением между
волокнами}
@@ -452,18 +849,19 @@ $\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ т
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы к третьей главе}
\begin{enumerate}
\item Построена твердотельная модель фрагмента слоя тканого композита с
\item Построены математические модели фрагмента слоя тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
разрыв волокна основы и одновременный разрыв волокон основы и утка с учетом
контакта с трением между волокнами.
\item Получены численные решения краевых задач на двухосное растяжение в
плоскости слоя, чистый сдвиг и одноосное растяжение в направлении утка с учетом
контакта с трением между волокнами.
\item Вычислены безразмерные коэффициенты концентрации напряжений, вызванные
наличием локальных технологических дефектов в виде разрыва волокна основы и
одновременного разрыва волокон основы и утка.
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, одновременный разрыв волокон
основы и утка, а также наличие внутренней технологической поры с учетом
наличия гарантированной прослоки матрицы между волокнами основы и утка,
а также с учетом контакта с трением между волокнами.
\item На основе численного решения задач комбинированного многоосного
нагружения получены значения безразмерных коэффициентов концентрации напряжений
в слое тканого композита, вызванные наличием локальных технологических дефектов.
\item Определены механизмы, инициирующие разрушение матрицы в слое тканого
композита с искривленными волокнами и наличием контакта с трением между
волокнами.
композита с искривленными волокнами. Показаны зависимости этих механизмов от
типа дефекта, вида нагружения, а также наличия в технологическом процессе
дополнительных операций, обеспечивающих проникновение связующего в полости,
образованные локальными технологическими дефектами.
\end{enumerate}