Chapter 1 was fixed. Spellcheking

c1.tex

@@ -68,7 +68,7 @@ $500~\text{г}/\text{м}^2$.
 
 Для изготовления каркаса изделия, заготовки из ткани или ленты выкладываются на
 оправку с последующей прошивкой слоев по третьей координате, при этом, в местах
-пршивки возможно возникновение разрывов волокон основы и утка. 
+прошивки возможно возникновение разрывов волокон основы и утка. 
 
 \subsection{Матричные материалы}
 
@@ -362,11 +362,193 @@ $6\dots100$~МПа при температуре $550\dots 650^\circ\mathrm{C}$.
 а влияние матрицы на формирование жесткости указанного направления весьма
 значительно.
 
-\section{Экспериментальные закономерности влияния локальных концентраторов
-напряжений на деформационные и прочностные свойства тканых композитов с
-поликристаллической матрицей}
+\section{Разработка твердотельной модели тканого композита с локальными
+технологическими дефектами}
 
-%TODO: Написать вторую часть первой главы
+\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
+\label{c1:geometry}
+
+Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
+переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
+постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
+Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
+дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
+{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
+(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
+будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geom}
+ \caption{Геометрия изгиба волокна}
+ \label{fig:c2:geometry}
+\end{figure}
+
+Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
+помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
+собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
+программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
+параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
+приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
+SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
+NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
+моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
+
+С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
+рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
+очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
+ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
+вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
+после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
+модели тканого композита с поликристаллической матрицей
+(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
+bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
+
+\begin{figure}[ht]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
+ \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
+а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
+ \label{fig:c2:regular}
+\end{figure}
+
+Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
+поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
+далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
+плоскости слоя.
+
+Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
+поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
+(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
+(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
+(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
+(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
+
+\begin{figure}[ht]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
+пропитки (а) и с пропиткой (б)}
+ \label{fig:c2:fiber_skip}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
+дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
+ \label{fig:c2:one_fiber_break}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
+дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
+ \label{fig:c2:two_fibers_break}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
+ \label{fig:c2:pore}
+\end{figure}
+
+Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
+или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
+размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
+значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
+образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
+вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
+карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
+заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
+
+\clearpage
+
+\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}
+
+Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
+тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
+взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
+тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
+
+\begin{equation}
+ \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
+\end{equation}
+
+\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
+с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 
+
+\begin{equation}
+\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
+r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
+\label{eq:Koshi}
+\end{equation}
+
+Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
+кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
+${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
+или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
+записаны следующим образом:
+
+\begin{equation}
+\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
+C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
+\varepsilon_{kl}({\bf r}),
+\label{eq:Guck}
+\end{equation}
+
+\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
+коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
+
+Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
+быть дополнена граничными условиями
+
+\begin{equation} 
+ \begin{array}{c}
+  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
+  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
+  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
+  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
+ \end{array}
+ \label{eq:b_cond}
+\end{equation}
+
+\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
+деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения
+
+\begin{equation}
+ \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
+ \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
+ \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
+ {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
+ \label{eq:b_cond_ideal}
+\end{equation}
+
+\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
+
+\begin{figure}[!ht]
+ \centering
+ \includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
+ \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
+ \label{fig:c2:b_cond}
+\end{figure}
+
+Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
+внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
+перемещения, сама поверхность свободна от напряжений:
+
+\begin{equation}
+ \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
+ \label{eq:b_cond_free}
+\end{equation}
+
+а ее точки не имеют ограничений на перемещения. В случае насыщения внутренней
+поры соответствующие объемы материала обладают свойствами матрицы.
 
 \section*{Выводы к первой главе}
 \addcontentsline{toc}{section}{Выводы к первой главе}