370 lines
23 KiB
TeX
370 lines
23 KiB
TeX
\chapter{Геометрическая модель тканого композиционного материала с
|
||
искривленными волокнами и внутренними технологическими дефектами}
|
||
|
||
В главе\insecondtext
|
||
|
||
\section{Разработка твердотельной модели тканого композита с локальными
|
||
технологическими дефектами}
|
||
|
||
\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
|
||
\label{c1:geometry}
|
||
|
||
Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
||
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
|
||
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
|
||
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
|
||
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
|
||
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
|
||
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
||
|
||
\begin{figure}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geom}
|
||
\caption{Геометрия изгиба волокна}
|
||
\label{fig:c2:geometry}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
|
||
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
|
||
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
|
||
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
|
||
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
|
||
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
|
||
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
|
||
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
|
||
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
|
||
|
||
С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
|
||
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
|
||
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
|
||
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
|
||
вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
|
||
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
|
||
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
|
||
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
|
||
\caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
|
||
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
|
||
\label{fig:c2:regular}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
|
||
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
|
||
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
|
||
плоскости слоя.
|
||
|
||
Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
|
||
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
|
||
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:fiber_skip}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
|
||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:one_fiber_break}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
|
||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:two_fibers_break}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
|
||
\label{fig:c2:pore}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
|
||
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
|
||
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
|
||
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
|
||
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
|
||
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
|
||
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
|
||
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
|
||
|
||
\clearpage
|
||
|
||
\subsection{Постановка краевой задачи для слоя тканого композита}
|
||
|
||
Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
|
||
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
|
||
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
|
||
тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
|
||
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
|
||
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
|
||
\label{eq:Koshi}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
|
||
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
|
||
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
|
||
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
|
||
записаны следующим образом:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
|
||
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
|
||
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
|
||
\label{eq:Guck}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
|
||
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
|
||
|
||
Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
|
||
быть дополнена граничными условиями:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\begin{array}{c}
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||
\end{array}
|
||
\label{eq:b_cond}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное деформирование в плоскости
|
||
слоя и условиями идеального сопряжения
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
||
\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
|
||
{\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}}
|
||
\label{eq:b_cond_ideal}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
|
||
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
|
||
\caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
|
||
\label{fig:c2:b_cond}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
|
||
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
|
||
перемещения, сама поверхность свободна от напряжений:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
||
\label{eq:b_cond_free}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
а ее точки не имеют ограничений на перемещения. В случае насыщения внутренней
|
||
поры соответствующие объемы материала обладают свойствами матрицы.
|
||
|
||
|
||
|
||
\section{Численное решение краевой задачи упругости методом конечных
|
||
элементов}
|
||
|
||
Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
|
||
\eqref{eq:b_cond} -- \eqref{eq:b_cond_free} решается численно методом конечных
|
||
элементов, который является одним из наиболее эффективных методов решения задач
|
||
механики деформируемого твердого тела и расчета конструкций из тканых
|
||
композитов.
|
||
|
||
Решать задачу будем с помощью некоммерческого пакета Code-Aster, входящего в
|
||
состав платформы SALOME-MECA. Этот пакет был разработан и сертифицирован
|
||
специально для французской энергетической отрасли и предназначен для задач
|
||
механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма,
|
||
выполнения расчетов для строительных конструкций и сооружений
|
||
\cite{bib:code-aster:common, bib:code-aster:presentation}.
|
||
|
||
Дискретизация матрицы проводилась на 14-узловые тетраэдральные элементы
|
||
(рис.~\ref{fig:elements}~а), волокно разбивалось на 20-узловые гексаэдральные
|
||
элементы (рис.~\ref{fig:elements}~б).
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=8cm]{elements}
|
||
\caption{Пример конечных элементов: а) тетраэдральный, б) гексаэдральный}
|
||
\label{fig:elements}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
На рис.~\ref{fig:mesh:matrix} представлена конечно-элементная сетка фрагмента
|
||
матрицы слоя модельного тканого композита полотняного переплетения.
|
||
Конечно-элементная сетка волокон представлена на рис.~\ref{fig:mesh:fibers}.
|
||
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/matrix}
|
||
\caption{Пример дискретизации матрицы}
|
||
\label{fig:mesh:matrix}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/fibers}
|
||
\caption{Пример дискретизации волокон}
|
||
\label{fig:mesh:fibers}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Для сопряжения конечно-элементных сеток армирующего каркаса и матрицы на этапе
|
||
дискретизации выделялись <<главная>> и <<подчиненная>> поверхности. На этапе
|
||
расчета узловые точки <<подчиненной>> поверхности (например, принадлежащие
|
||
матрице) проецировались на те ближайшие конечные элементы, грани которых
|
||
расположены на <<главной>> поверхности, и считались принадлежащими этим
|
||
элементам. Перемещения точек <подчиненной>> поверхности заменялись перемещениями
|
||
их проекций на элемент <<главной>> поверхности \cite{bib:code-aster:contact}.
|
||
|
||
Модуль Юнга $E_f = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0{,}20$
|
||
волокон соответствовали данным работы \cite{bib:tarnapolsky}.
|
||
Упругие модули поликристаллической матрицы были выбраны следующими: $E_m
|
||
= 0{,}28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$.
|
||
|
||
\section{Тестирование математической модели тканого композита с искривленными
|
||
волокнами}
|
||
|
||
Для проверки корректности построения математической модели решалась задача по
|
||
определению напряженно-деформированного состояния при двухосном
|
||
равнокомпонентном деформировании слоя тканого композита с искривленными
|
||
волокнами для сеток с разным количеством конечных элементов и проводилось
|
||
сравнение значений интенсивностей напряжений $\sigma_I$ в точке, находящейся
|
||
в геометрическом центре слоя тканого композита с бездефектной идеальной
|
||
периодической структурой. Такие же задачи решались для модели слоя тканого
|
||
композита с дефектом в виде туннельной поры, для случаев когда полость,
|
||
возникающая в следствие дефекта доуплотняется материалом связующего или
|
||
остается незаполненной.
|
||
|
||
Зависимость интенсивностей напряжений в точке, находящейся в центре слоя
|
||
тканного композита от количества конечных элементов показана в таблице
|
||
\ref{tab:convergence}.
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\caption{Зависимость интенсивностей напряжений от количества конечных
|
||
элементов}
|
||
|
||
\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
|
||
\hline
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Идеальная периодическая структура}&
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Туннельная пора}&
|
||
\multicolumn{2}{|p{5cm}|}{Туннельная пора, доуплотненная материалом
|
||
связующего} \\
|
||
\hline
|
||
$C$ & $\sigma_{I}$ & $C$ & $\sigma_{I}$ & $C$ & $\sigma_{I}$ \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
218 207 & 33.6 & 213 381 & 38.0 & 194 196 & 37.9 \\
|
||
\hline
|
||
271 644 & 32.0 & 261 695 & 36.2 & 241 932 & 36.0 \\
|
||
\hline
|
||
365 283 & 31.1 & 345 396 & 35.2 & 326 327 & 35.2 \\
|
||
\hline
|
||
427 855 & 31.2 & 402 304 & 35.4 & 382 954 & 35.3 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:convergence}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Из таблицы видно, что расхождение между интенсивностями напряжений в двух
|
||
последних вычислительных экспериментах не превышает $1\%$, что может
|
||
свидетельствовать о достаточной степени дискретизации модели.
|
||
|
||
Распределения интенсивностей напряжений в слое тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой, полученные в ходе решения задачи показаны на
|
||
рис.~\ref{fig:vmis_v1_s1}.
|
||
|
||
\begin{figure}[ht]
|
||
\includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s1}
|
||
\caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
|
||
периодической структурой}
|
||
\label{fig:vmis_v1_s1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Из рисунка видно, что распределение искомых полей в рассматриваемом случае
|
||
удовлетворяют условиям симметрии и периодичности геометрической модели и
|
||
приложенной внешней нагрузке, что говорит о корректно построенной
|
||
геометрической модели и корректности полученного численного решения.
|
||
Максимальных значений интенсивность напряжений достигает в местах наибольшей
|
||
кривизны волокон.
|
||
|
||
Параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям неизменности
|
||
качественных и количественных характеристик для моделей с различными видами
|
||
дефектов, а также для модели с идеальной периодической структурой представлены
|
||
в таблице~\ref{tab:discr}.
|
||
|
||
\begin{table}[ht!]
|
||
\caption{Параметры конечно-элементной сетки}
|
||
\begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
|
||
\hline
|
||
& Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
|
||
\hline
|
||
\hline
|
||
Идеальная периодическая структура & 298~255 & 77~760 \\
|
||
\hline
|
||
Тунельная пора & 285~664 & 69~984 \\
|
||
\hline
|
||
Туннельная пора с доуплотнением & 266~314 & 69~984 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокна основы & 285~466 & 75~168 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокна основы с доуплотнением & 296~499 & 75~168 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокон основы и утка & 279~276 & 72~576 \\
|
||
\hline
|
||
Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 276~175 & 72~576 \\
|
||
\hline
|
||
Внутренняя технологическая пора & 287~934 & 77~760 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\label{tab:discr}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
\section*{Выводы ко второй главе}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы ко второй главе}
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Построена геометрическая модель фрагмента слоя тканого композита с
|
||
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
|
||
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
|
||
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, разрыв волокон основы и утка и
|
||
внутренняя технологическая пора.
|
||
\item На основе численного решения задачи двухосного равнокомпонентного
|
||
растяжения в плоскости слоя тканого композита проведено тестирование полученной
|
||
модели.
|
||
\item Приведены параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям
|
||
условиям сходимости задачи.
|
||
\item Приведены блок-схема алгоритма и модель разработанной базы данных для
|
||
рассчета коэффициентов концентрации в слое тканого композита, вызванных наличием
|
||
локльных технологических дефектов.
|
||
\end{enumerate}
|