189 lines
11 KiB
TeX
189 lines
11 KiB
TeX
\chapter{Локальные поля напряжений и деформаций в представительных объемах
|
||
тканого композита с поликристаллической матрицей}
|
||
|
||
\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения тканого композита с
|
||
поликристаллической матрицей}
|
||
|
||
\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
|
||
|
||
Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
||
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
|
||
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
|
||
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
|
||
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
|
||
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
|
||
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
||
|
||
\begin{figure}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geom}
|
||
\caption{Геометрия изгиба волокна}
|
||
\label{fig:c2:geometry}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
|
||
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
|
||
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
|
||
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
|
||
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
|
||
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
|
||
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
|
||
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
|
||
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
|
||
|
||
С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
|
||
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
|
||
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
|
||
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
|
||
вычитания из твердотельного прямоугольного параллилепипеда фрагмента ткани,
|
||
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
|
||
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
|
||
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
|
||
|
||
\begin{figure}[h]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
|
||
\caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
|
||
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
|
||
\label{fig:c2:regular}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
|
||
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
|
||
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
|
||
плоскости слоя.
|
||
|
||
Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
|
||
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
|
||
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
|
||
|
||
\begin{figure}[h]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
|
||
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:fiber_skip}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
|
||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:one_fiber_break}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
|
||
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
||
\label{fig:c2:two_fibers_break}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{figure}[ht!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
|
||
\caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
|
||
\label{fig:c2:pore}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
|
||
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
|
||
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
|
||
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
|
||
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
|
||
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
|
||
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
|
||
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
|
||
|
||
\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}
|
||
|
||
Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
|
||
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
|
||
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
|
||
тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
|
||
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
|
||
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
|
||
\label{eq:Koshi}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
|
||
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
|
||
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
|
||
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
|
||
записаны следующим образом:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
|
||
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
|
||
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
|
||
\label{eq:Guck}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
|
||
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
|
||
|
||
Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
|
||
быть дополнена граничными условиями
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\begin{array}{c}
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
|
||
u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
||
{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
||
\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
||
\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
||
\end{array}
|
||
\label{eq:b_cond}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
|
||
деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
||
\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
||
\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
|
||
{\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}}
|
||
\label{eq:b_cond_ideal}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
|
||
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
|
||
\caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
|
||
\label{fig:c2:b_cond}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполенные матрицей имеют
|
||
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
|
||
перемещения, а сама поверхность свободна от напряжений:
|
||
|
||
\begin{equation}
|
||
\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
||
\label{eq:b_cond_free}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
|
||
и квазипериодическим расположением волокон}
|
||
|
||
\section{Выводы ко второй главе} |